Unidad 2. 1. Introducción a matrices.

Una matriz es un arreglo de entradas organizadas en renglones y columnas.

El estudio de matrices es muy importante dentro de la vida cotidiana; constantemente las utilizan sin darse cuenta de ello. Por ejemplo, una boleta de calificaciones es una matriz con los datos acomodados en filas y columnas, la lista de compras del mercado, el horario de clases, una cartilla de vacunación, etc., también son ejemplos de matrices.

¿Sabías que…?

El buscado de google utiliza matrices para mostrar las páginas de búsqueda; de hecho, para que el servidor funciones se necesita álgebra lineal, teoría de grafos y probabilidad.

¿Podrías explicar como el buscador de google atiende 200 millones de consultas diarias, aproximadamente, e indexa varios miles de millones de páginas web? ¿Qué papel juegan las matemáticas en este servidor?

Para que este servidor funcione, se necesita un criterio de ordenación; si se etiquetan con símbolos P₁ …, P_n cada una de las páginas de la red, se le puede asignar a cada P_j un número x_j, que representará su importancia. Estos números podrían ser, por ejemplo, números entre 0 y 1.

Suponiendo que después de un censo de los sitios de la red, se construye la lista de páginas web, asignándole a cada una de ellas, de la manera que sea, una importancia. Esta lista queda a disposición para ser utilizada cada vez que se realice una determinada consulta: las paginas seleccionadas se mostraran en el orden que indique dicha lista, ¿Cómo se construye esa lista?

Cuando se tratan con grafos, se recurre a los dibujos en el papel, en los que los vértices son puntos del plano; mientras que las aristas son flechas que unen esos punto, conviene considerar una interpretación alternativa, en este caso por medio de matrices.

La dimensión de una matriz está dada como el número de filas por el número de columnas. Por ejemplo, el horario se trata de una matriz de dimensión 6x6, o bien de 5x5, si solo te fijas en las entradas y no en la información que proporcionan, mientras que la boleta de calificaciones es una matriz de 11x10, o bien de 9x8. La dimensión de una matriz también se conoce como el orden de la matriz.

Ahora bien, en la matriz que se forman, las filas y columnas van etiquetadas con los P_1, …, P_n y cuyas entradas son ceros y unos. La entrada m_ij de la matriz será un uno si es que hay un enlace en la página P_j a la página P_i; y un cero en caso contrario.

Suponiendo, por ejemplo, que la pagina P₁ es citada desde las páginas P₂, P₂₅ y P₂₅₆, que P₂ solo se sita desde P₁ y P₂₅₆, etc., mientras que se diga, hay enlacen en la última página,P_n, desde P₁, P₂, P₃, P₂₅ y P_n−1.

La página P1 tiene tres enlaces, los cuales son: P2, P25 y P256; la página P2 tiene dos enlaces, P1 y P256; la página Pn tiene cinco enlaces que son: P1, P2, P3, P25 y Pn−1.

De acuerdo con esto, x1 debería ser proporcional a 3, porque tiene tres enlaces; x2 lo sería a 2, etc., mientras que xn habría de ser proporcional a 5.

Pero ahora la asignación x1, …, xn debe cumplir que x1 = K (x2 + x25 + x256), x2 = K (x1 + x256), …xn = K (x1 + x2 + x3 + x25 + xn−1), donde K es una constante de proporcionalidad. Se encuentra así con un enorme sistema de ecuaciones cuyas soluciones son las posibles asignaciones de x1, …, xn.

En este curso aprenderás a calcular las soluciones de una matriz, sin las cuales, como te podrás dar cuenta, no podría existir una herramienta tan valiosa como Google.

1.1        Renglones y columnas.

1.1.1        Definición vector renglón

Un vector renglón de n componentes u, es un conjunto ordenado de n número escritos de la siguiente manera:

1.1.2        Definición vector columna.

Se define un vector columna de n componentes V, como un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera:

Ambos vectores (renglón o columna), u₁ se conoce como primera componente, v₂ se le llama segunda componente, y así sucesivamente. Por ejemplo:

Es un vector columna, en el cual 3 es la primera componente, 5 la segunda componente, -7 la tercera componente y el 2 es la cuarta componente.

Mientras tanto, en el vector reglón (3, 5, -7, 2), 3 es la primera componente, 5 es la segunda, -7 es la tercer y 2 es la cuarta.

Este vector, tanto la columna como el renglón, se pueden utilizar, por ejemplo, para describir el ahorro de una persona al día; así el vector puede expresarse como: ahorre 3 pesos el lunes, 5 pesos el martes, gaste 7 el miércoles, ahorre 2 el jueves.

Ahora que se conocen los vectores, están listo para dar a conocer otro concepto, en este caso, el de las matrices.

1.2        Notación y clasificación.

En 1858, Cayley introdujo la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales y derivadas parciales. Además de que son útiles para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, en las diferentes ingenierías, etc., y como viste, también pueden aparecer en tus actividades cotidianas.

La utilización de matrices actualmente constituye una parte esencial de los lenguajes de programación ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc.

1.2.1        Notación que se utiliza para una matriz.

Una matriz A de m x n (m por n) es un arreglo rectangular de m por n números dispuestos en m filas y n columnas, tal y como se muestran a continuación:

Los elementos que conforman una matriz son los vectores fila y los vectores columna; entonces, cada fila de una matriz es precisamente un vector fila y cada columna de esta, es un vector columna. Ahora ya se pueden representar diferentes situaciones mediante matrices, de manera muy similar cuando utilizaban vectores, pero con más información. Por ejemplo, un estudiante obtuvo las siguientes calificaciones:

	Unidad 1	Unidad 2	Unidad 3
Calculo	8	9	9
Álgebra	9	7	9
Computación	10	9	10

Si se va a trabajar con una tabla como la anterior que ofrece información ordenada y clara, sería una pérdida de tiempo utilizarla solo una ocasión, ya que se tiene que trazar. Sin embargo, con la ayuda de las matrices, una vez que se tiene establecido el orden, se puede representar la información tal y como sigue, una y otra vez.

Esta, sería una forma más cómoda para continuar trabajando con los datos de la tabla.

En algunos textos, para representar la matriz se utilizan paréntesis cuadrados o bien corchetes.

Por otra parte, para establecer la cantidad que elementos que contiene una matriz, se nombrara como una matriz de m x n, donde m presentara el número de filas y n el número de columnas.

Para hacer referencia de una matriz, se ven a utilizar datos similares a las coordenadas en un plano cartesiano, pero en lugar de utilizar un plano con eje x y eje y, se utilizará la fila i y la columna j, en ese mismo orden; por ejemplo, suponiendo que se tiene la matriz de 3x3:

El elemento a₁₁=3 se ubica en la fila 1, columna 1, el elemento a₂₂=2, y en el a₃₂ se encuentra el 1; de esta manera, cada elemento de la matriz se ubica mediante la fila en la que se encuentre, ordenadas de arriba hacia abajo, y en la columna, ordenadas de izquierda a derecha. Como puedes observar, no existen dos elementos distintos que tengan la misma posición dentro de una matriz.

A partir de la matrices, te podrás dar cuenta de que un vector es precisamente una matriz que está formada únicamente por una fila o por una columna, dependiendo de qué tipo de vector sea.

Dichas matrices se van a representar mediante una letra mayúscula, así, se tendría a las matrices A, B, C, D, etc. Para hacer referencia a sus elementos, generalmente se utilizará la notación de la misma letra, pero con minúsculas y con dos subíndices, el primero de los cuales indica la fina y el segundo la columna; así, a_ij es el elemento que está en la fila i columna j. de esta manera a₃₄, significa que está en la fila 3 y columna 4.

De modo general, las matrices pueden clasificarse en matrices cuadradas y matrices no cuadradas; las matrices cuadradas tienen características especiales y son aquellas con las cuales se trabajará.

Totas las matrices, ya sean cuadradas o no, pueden escribirse en su forma escalonada reducida por renglones. Este tipo de matriz tiene las siguientes características.

a)       Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz.

b)      El primer número diferente a cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos elementos no todos son cero, es 1.

c)       Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba.

d)      Cualquier columna que contiene el primer 1 en un renglón tiene cero en el resto de sus elementos. El primer número diferente de cero en un renglón (si lo hay) se llama pivote para ese renglón.

Las siguientes matrices, son ejemplos de matrices escalonadas reducidas por renglones.

1.

2.

3.

4.

1.2.2        Matriz cuadrada.

Una matriz cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas, por ejemplo, la matriz de las calificaciones de cálculo, álgebra y computación tiene 3 filas y 3 columnas.

Los elementos que se encuentran en las posiciones donde el número de filas coincide con el de la columna, forman la diagonal de la matriz; en este ejemplo, las posiciones son a₁₁=8, a₂₂=7 y a₃₃=10.

Una matriz que no es cuadrada tiene diferente número de filas y de columnas. Por ejemplo, el vector fila y el vector columna.

Una diagonal de una matriz es la que forman las entradas, comenzando por cualquiera de la primera columna, y dirigiéndose hacia abajo en forma escalonada.

La diagonal principal de una matriz se define para matrices de n x n. esta es la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. Es decir, si se tiene una matriz cuadrada de n x n, la diagonal principal está formada por las entradas a_ii.

Dentro de las matrices cuadradas se pueden encontrar diferentes tipos de matrices, como son:

1.2.2.1         Matriz triangular.

Una matriz triangular superior si es una matriz cuadrada y todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son cero; en una matriz inferior sucede a la inversa, es decir, todos los elementos que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero.

La matriz A es triangular superior porque al construir un triángulo por arriba de la diagonal lo que queda abajo del triángulo son ceros (fijate bien que no importa como sean las entradas que quedan dentro del triángulo, lo importantes es que debajo del todas la entradas son ceros).

La matriz B es triangular inferior, porque al construir un triángulo por debajo de la diagonal lo que queda arriba del triángulo son ceros (fijate bien que no importa como sean las entradas que quedan dentro del triángulo, lo importante es que arrida del todas las entradas son ceros).

1.2.2.2         Matriz diagonal.

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas entradas no diagonales son todas cero (fijate bien que no importa como sean las entradas que quedad en la diagonal, lo importante es que tanto arriba de la diagonal como debajo de la mismas, las entradas sean ceros).

Una matriz diagonal es tanto triangular superior como triangular inferior.

1.2.2.3         Matriz identidad.

es la matriz que en la diagonal principal solo tienen números uno y en los demás elementos, ceros. En la siguiente matriz se ilustra la definición.

1.2.2.4         Matriz cero.

Es la matriz cuyos elementos son todos ceros, por ejemplo:

La matriz cero es tanto triangular superior, como triangular inferior, como diagonal.

Existen otros tipos especiales de matrices, las cuales se darán a conocer en el momento que se utilicen. Se define a las anteriores debido a que en todo momento las utilizarás por ser las más básicas en álgebra lineal.