En
esta actividad se retoman todos los conocimientos adquiridos en la unidad, por
lo que integrarás los ejercicios realizados anteriormente, con las correcciones
pertinentes.
1. Recopila los ejercicios realizados durante la unidad
3 (actividades 2 y 3) e intégralos en la evidencia ya
corregidos.
Introducción
La
regla de Cramer es un método sencillo que se usa para resolver un sistema de
ecuaciones lineales, a través de sus matrices y determinantes.
Para
trabajar con la regla de Cramer, a partir de una matriz A, se deben construir
otras matrices, las cuales se denotarán como A.
Cada Ai es idéntica a A, excepto por
la columna i. En cada Ai la columna
i será reemplazada por el vector b. De esta manera, al obtener los determinantes
de cada una de las matrices formadas, se podrá aplicar la regla de Cramer.
Desarrollo:
Para
comprender el tema de la unidad 3, te invito a realizar la lectura de la unidad,
y posteriormente realiza lo siguiente
Ejercicio 1.
Investiga
las propiedades de las determinantes y desarrolla un ejemplo de cada propiedad.
Propiedad 1.
Para
cualquier matriz A, A y su transpuesta tienen el mismo
determinante:
Propiedad 2.
Si
la matriz tiene una fila o una columna en la que todos sus elementos son cero,
entonces |A|=0.
det(A)=a⋅d−b⋅c2
Propiedad 3.
Si
la matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces su determinante
también es cero: |A|=0.
Las
filas 2 y 3 de la matriz son los múltiplos de la primera
fila.
Propiedad 4.
El
determinante del producto de matrices es el producto de sus
determinantes:
Propiedad 5.
Se
puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante
por el factor.
Extraemos
el factor común de la segunda fila.
Propiedad 6.
Si
se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de
signo.
Propiedad 7.
El
determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su
diagonal.
Propiedad 8.
Si
una matriz es invertible, el determinante de la matriz inversa es el inverso de
la determinante.
Ejercicio 2.
Suma
y resta de determinantes. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales,
utilizando menores y cofactores. Es importante que incluyas las operaciones que
realizas paso a paso. Evita colocar solo el
resultado.
Con
las ecuaciones anteriores realiza:
a) A+B
b) A-B
c) B-A
Ejercicio 3.
Comparación
de determinantes. Sean P y Q dos matrices de 3 x 3. Encuentra los determinantes
de P y de Q y compáralas. Recuerda incluir operaciones que realizas, paso a
paso:
Ejercicio 4.
Teorema
de la regla de Cramer. Investiga sobre la regla de Cramer y el procedimiento a
seguir para resolver la siguiente ecuación.
Conclusión
analítica.
La
realización de este ejercicio me ayudo a reafirmar el conocimiento adquirido
durante la unidad 1 y 2 de esta materia, así mismo para poder entender el
desarrollo de las diferentes propiedades con las que se cuenta para la solución
de determinantes.
También
me permitió comprender un poco más la forma de realizar las determinantes por el
método de triangulación y por el método de Cramer.
No
ha sido sencillo, me ha costado mucho tiempo y esfuerzo el comprender este tipo
de operaciones, sin embargo, creo que las he desarrollado de una manera bastante
correcta.
Evidencia de aprendizaje. Aplicación sobre
determinantes.
Introducción:
En
la actualidad se consideran primero las matrices antes que las determinantes,
sin embargo, se la da más énfasis al estudio de las determinantes que a las
matrices. En la actualidad el uso de matrices y determinantes son de mucha
utilidad en los problemas prácticos de la vida cotidiana. El uso de
determinantes permite en desarrollo de habilidades del pensamiento matemático,
analítico, la comunicación y la modelación, entre otros, dentro de un contexto
que sea apropiado para dar respuesta a una multiplicidad de opciones que surgen
de manera de manera cotidiana.
El
uso de determinantes nos ofrece un gran apoyo en el cálculo numérico, también
en los lenguajes de programación y la introducción de datos en tablas
organizadas en filas y columnas.
Desarrollo:
Introduce
tu actividad explicando cómo ayudan las determinantes a resolver problemas d de
la vida cotidiana. Puedes compartir ejemplos, es importante que tu argumento
evidencia comprensión por el tema.
Ejercicio
1. Resuelve mediante la regla de Cramer 2X2
Ejercicio
2. Resuelve mediante la regla de Cramer 3X3
Ejercicio
3. El siguiente cuadro muestra los porcentajes requeridos de ciertos químicos,
para desarrollar un fertilizante especial contra ciertas plagas. Mediante el
uso de determinantes, resuelve el siguiente
ejercicio:
|
Mezcla |
Sustancia
1 (x) |
Sustancia
2 (y) |
Sustancia
3 (z) |
Cantidad
deseadas por sustancia |
|
A |
20 |
25 |
40 |
450g |
|
B |
13 |
20 |
12 |
390g |
|
C |
20 |
20 |
20 |
400g |
Se
plantean las ecuaciones lineales
Se
convierte la ecuación lineal en matriz.
Preparo
la determinante dividiéndolo en componentes más
pequeños.
Realizo
el despeje de la primera determinante.
Realizo
el despeje de la segunda determinante.
Realizo
el despeje de la tercera determinante.
Teniendo
ya sacadas estas determinantes se realiza la siguiente operación para poder
sacar la determinante de la matriz.
Conclusión analítica.
Al
realizar el ejercicio 3 de esta actividad, me tope con varias dudas, por
consiguiente, no estoy completamente segura de haberlo realizado correctamente,
sin embargo, busque varios tutoriales y esta fue la manera en que comprendí que
se debería de hacer, aunque no estoy segura de ello.
Verdaderamente
quedé con muchas dudas al realizar esta operación, así que la realice también
de otra manera, para que en caso de que la que acabo de subir no sea la
correcta posteriormente en la corrección suba la otra
operación.
2. Ahora que ya has aplicado distintos métodos para
resolver ecuaciones lineales, realiza cuidadosamente el siguiente cuadro
comparativo:
|
Método |
En qué
situaciones se puede aplicar |
Describa en
tus palabras en que consiste |
|
Operaciones elementales de
renglón. |
Una de las situaciones en la que se puede aplicar para
saber cuántas preguntas responde una persona respecto a la calificación que
saco en un examen |
Este procedimiento sirve para solucionar matrices solo
usando tres operaciones elementales con renglones de matrices, intercambio de
renglones, multiplicación de un renglón con una constante que no sea cero y
sumando un renglón con otro. |
|
Método de Gauss. |
Un ejemplo que puedo plantear es encontrar la cantidad
de almohadas, edredones y colchas que compro un hotel tan solo teniendo la
cantidad de producto total que compro, la cantidad que gasto, el costo de cada
objeto (almohada, edredón y colcha) |
Es cuando transformas un sistema de ecuaciones en otro
que sea equivalente pero que la forma de este sea de manera escalonada, para
poder obtenerlo se debe usar el sistema de eliminación de ecuaciones
dependientes. |
|
Método de
Gauss-Jordan. |
Este método puede ser usado para organizar las
distribución de productos. |
Este método puede resolver un sistema de ecuación
lineal con números variables, encuentra matrices y matrices inversas,
convirtiendo una matriz aumentada en una matriz de
identidad. |
|
Determinantes, menores y cofactores de los
determinantes. |
El uso más común de los determinantes es para el
cálculo de áreas y volúmenes especialmente en espacios euclídeos. Por ejemplo
para encontrar el área de dos paralelogramos
adyacentes. |
Se le llama método de determinate al número obtenido
al sumar los diferentes productos de n número de elementos que se pueden formar
con los elementos de una matriz, debe haber un elemento de cada fila distinta y
uno de cada columna distinta, al resultado se le pone el signo positivo si el
orden de las filas son iguales a el de las columnas y en caso contrario se le
pone signo negativo |
|
Regla de Cramer. |
Se puede usar para encontrar el costo de materiales de
más de un producto usando un
método de discriminación, para esto se debe tener el costo en materiales del
cada producto y la cantidad que se tiene para la producción de los mismos. Con
ello se puede identificar la cantidad que se puede generar de cada
artículo. |
Esta regla se utiliza para resolver un sistema de
ecuación lineal que tiene igual número de ecuaciones como de incógnitas,
entonces su determinante de los coeficientes será distinto de
cero. |
3. Propón una situación de la vida diaria , en la que
podrías requerir la aplicación de alguno de los métodos revisados en la unidad,
plasma la situación, tu ecuación lineal, justifica el método a usar, y resuelve
el problema mediante el método que consideres pertinente.
Un
ejemplo resuelto por el método de Cramer sería el siguiente:
En
una empresa manufacturera se debe fabricar la cantidad de 85 artículos pero de
tres distintas clases. Los costos que genera la producción de estos artículos
suman la cantidad de $500.00 y el costo de cada artículo sería de la siguiente
manera:
· Articulo A = $20
· Articulo B =$10
· Articulo C = $5
Por
otro lado, el costo de mano de obra de la producción total es de $300, y el
costo de cada artículo quedaría de la siguiente manera:
· Articulo A = $15
· Articulo B =$5
· Articulo C = $2
Para
poder solucionar esto es necesario identificar las cuales son las posibles
variables que hay en este problema.
Al
estar hablando de tres productos se tiene por entendido que son tres variables,
por ende, se tiene que:
X
= # de unidades de producto tipo A
Y
= # de unidades de producto tipo B
Z
= # de unidades de producto tipo C
Por
consiguiente, las ecuaciones quedarían de la siguiente
manera:
Ya
que se establecen las ecuaciones, se puede resolver con la Regla de Cramer, la
cual consiste en encontrar el resultado por medio de matrices y
determinantes.
Algebra lineal.
(s.f.). Obtenido de
http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro13/332_clculo_frmula_general_por_cofactores.html
Charre, D. E. (12 de enero de 2011). (C.
Departamento de Matemáticas, Ed.) Recuperado el 10 de marzo de 2019, de
http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-12.pdf
Determinantes.
(s.f.). México: DCSBA. Recuperado el 6 de marzo de 2019, de
https://documentcloud.adobe.com/link/track?uri=urn%3Aaaid%3Ascds%3AUS%3Ad65406f4-67cb-4f0d-b7c2-c018678a5da6
Iglesias, A. P. (2006). Descartes. Recuperado
el 10 de marzo de 2019, de Ministerio de Educación, Cultura y Deporte:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/determinantes_api/propiedades_de_los_determinantes.htm
U3| Determinantes.
(s.f.). México: Universidad Abierta y a Distancia de Mexico. Recuperado el 15
de marzo de 2019, de
https://unadmex-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/aliciaaine_nube_unadmexico_mx/EdubR-fGkrBOkRNi27G0A-MB6DOHa8HB4b-FKarj_Kcryg?e=Ik1leO
Universidad Autónoma de Baja
California. (s.f.). Recuperado el 10
de marzo de 2019, de
http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/propiedadesdets.htm
