En ocasiones será necesario que para solucionar problemas relacionados con las energías renovables debas resolver problemas modelables con ecuaciones diferenciales del tipo siendo dada
y donde
se encuentra entre 0 y un limite
, tal que
.
Buscando la solución general de la parte homogénea , calculando la solución particular
de la parte no homogénea, y obteniendo las constantes
y
para que
sea valida para las condiciones dadas
.
Otra forma de hacerlo es extendiendo la forma en que se define en el intervalo y a toda la recta, por medio del uso de ciertas condiciones que tienen que ver con la manera en que se repite la función en el intervalo, dado que si la función tiene continuidad por tramos, entonces puede ser representada por series o componentes periódicos.
Para algunas funciones se representan por medio de series, su tratamiento suele ser más adecuado.
Dentro de los fenómenos físicos existen, entre muchos otros, sistemas eléctricos y mecánicos que suelen incluir componentes periódicos de fuerza que van más allá de ser tan solo combinaciones lineales de cosenos y de senos. Aun con esto, pueden ser representados como series infinitas de elementos trigonométricos, extendiéndose esta característica a cualquier función con periodicidad adecuada, permitiendo resolver ecuaciones por medio de superponer términos trigonométricos reemplazando sumas finitas por series infinitas.
Como ya se había visto, una función periódica es aquella en que existe un numero positivo que permite cumplir.
Siendo conocido como el periodo de
.
Algo importante de recalcar es que si es periodo de una función tambien lo es
y asi de forma sucesiva, por lo que el periodo no es único para una
.
Si se llega a encontrar un periodo, siendo este el más pequeño número positivo que permite periodicidad para una , se le conoce como el periodo de la función o periodo fundamental. Un ejemplo de ello son las funciones seno y coseno, que tienen periodo de
. Si se hiciera una combinación lineal (cualquiera que esta fuera) de esas funciones el periodo seguiría siendo
. Se debe señalar que la función que modela una señal cuadrada no podría ser expresada asi, ya que las combinaciones presentadas son continuas. Otro ejemplo es la función tangente, con periodo fundamental
.
3. 2. 1. Definición de las series de Fourier
En 1822, Jean Baptiste Joseph Fourier, científico de Francia, presento en su escrito, la teoría analítica del calor, una teoría sobre su conducción, haciendo uso de series trigonométricas con coeficientes que determino de manera ingeniosa. El afirmaba que cualquier función que tuviera como periodo podía ser representada con series trigonométricas de tipo infinito, que tuvieran la siguiente forma
A las series que presenten la forma anterior se les llamara series de Fourier.
Autores como Zill, D. G. presentan pequeñas variaciones en esta definición, declarando que para una función que esta definida en
su serie de Fourier es
En donde
A estos últimos, se les conoce como coeficientes de Fourier de la función.
Un ejemplo de la aplicación de estos coeficientes, presentado por el mismo autor, es el siguiente:
Supón que se tiene el diagrama
El cual puede ser modelado como
Si se deseara desarrollar el comportamiento de la función anterior en una serie de Fourier se tendría que dejarlo representado para que quedara en la forma de
Se puede notar que para el periodo , utilizando las ecuaciones para el calculo de los coeficientes de Fourier de la función, se tiene que
Esto es debido a que
Por último,
Sustituyendo los coeficientes obtenidos en la forma de la serie de Fourier
Como se mencionó que el periodo es ,
3. 2. 2. Series trigonométricas y funciones con periodicidad
Una función periódica es en la que existe un numero positivo que hace que se cumpla
Siendo conocido como el periodo de
. Observa que al numero positivo mínimo que pudiera ocupar
para que esto se cumpliera era conocido como el periodo o periodo fundamental de la función.
Un ejemplo de esto es la función seno, que como ya se había mencionado, tiene periodo . Esto significa que se repite en
por lo que
. Esta propiedad servirá para probar algunos teoremas que se expresaran mas adelante.
En ocasiones se requiere calcular el mínimo periodo, el cual va a encontrarse asi
Esto es, el coeficiente del ángulo es .
Algunos autores suelen utilizar otras letras para denominar al periodo, por ejemplo, la letra .
Esto servirá para entender y tratar las series trigonométricas.
Una serie trigonométrica tendrá una forma como esta
Siendo y
coeficientes constituidos por números constantes reales. Es común que el periodo de estas series sea
pero puede ser utilizada la parte teórica para resolver cualquier periodo.
Carmona, I. y Filio E. presentan tres teoremas que serán de utilidad:
1. Supón que y
son funciones periódicas con periodo
, entonces, si
donde tanto
como
pertenecen a los números reales,
tambien es función periódica con periodo
.
2. Si tiene como periodo a
, entonces
es periodo tambien, donde
es numero entero.
3. y
para todo entero positivo
, son funciones que satisfacen en
las propiedades de ortogonalidad mostradas a continuación
Para dar certeza a las afirmaciones hechas, se comprueban los teoremas.
· Para el primero, como es función periódica con un periodo
tal que
, y
es función periódica a la vez con periodo
tal que
, se tiene que
· Comprobando el segundo, si tiene como periodo a
tal que
y
debido a que es periódica en
, entonces
· Para comprobar el tercer teorema, se resuelve la integral del inciso a) para ver que su resultado sea primero si
y 0 si
. Las integrales del inciso b) y c) tienen una comprobación similar, únicamente cambiando las identidades utilizadas, por lo que no se resolverán.
En el primer caso
Se sabe que , por lo que se puede reescribir como
En el segundo caso,
Se sabe que , por lo que se puede reescribir como
Para que veas la utilidad de incluso lo más básico, como pudiera ser el cálculo del periodo mínimo, se pondría para de ejemplos de su aplicación.
Supón que deseas saber el periodo fundamental de la función . Se sabe que el periodo de la función seno se encuentra en
, por lo que aplicando la formula para encontrar el mínimo periodo,
El periodo natural es , y el coeficiente del angulo en
es 2, por lo que, sustituyendo
Por lo tanto, en
Para hacer las cosas un poco más interesantes.
Trata de encontrar el periodo fundamental de
Se tiene que
Sustituyendo en la formula los valores conocidos
Entonces, en
A continuación, se presenta una tabla de integrales que son utilizadas comúnmente al solucionar problemas relacionados:
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Esto plantea algunas de las bases para la serie de Fourier, pero aún existen elementos que no se han descifrado, por ejemplo, de donde surge los coeficientes de la serie, porque varia la forma de escribirla entre distintos autores, y porque las fórmulas para los coeficientes son diferentes en alguno de ellos dependiendo del libro que se elija.
3. 2. 3. Fórmulas de Euler
Como seguramente ya habrás notado, para esta parte se ha estado desplazando de lo general a lo particular, de la definición de las series de Fourier a los fundamentos matemáticos que le dan soporte y permiten justificar su uso.
Se hablo de los coeficientes de Fourier e incluso se utilizaron haciendo ejercicios para poder sustituirlos en la serie de los valores que la resolverían, de acuerdo a cálculos efectuados sobre su modelo matemático, pero no se profundizo en cómo se obtuvieron ni el porqué de su forma.
Su origen puede centrarse en las fórmulas de Euler.
Retomando lo visto, Fourier decía que las funciones con periodo podrían representarse con series infinitas de la forma
Y se dice que algunos autores generalizaban aún más la forma, representándola como
Observaras, ahora que conoces la teoría detrás del uso de los periodos, que la segunda forma es igual a la primera si las funciones tienen periodo . Esto es, si
, entonces
Al ver diferentes libros de calculo que incluyan el tema de las series de Fourier, podrás notar que la formula, dependiendo de los autores, puede ser escrita ligeramente diferente, llegando a encontrarla de la siguiente manera
En esta forma ya no se encuentra dividida entre 2.
Entonces, ¿Cuál de las dos formas es la correcta? Si ambas representan a , entonces deberían ser iguales entre ellas, y al desaparecer indiscriminadamente el divisor crean una incongruencia, ¿no es asi?
La respuesta a la incógnita es que ambas son correctas.
Se debe recordar que, a final de cuentas, son modelos matemáticos los que se encuentran representados por el conjunto de caracteres que permiten formularlos, siendo más importante que estos el concepto detrás de ellos.
Algunos autores, como lo indica Zill, eligen por conveniencia escribir el primer coeficiente como en lugar de
para que la formula de
coincida para
, ya que de no hacerlo asi, podría causar confusión entre algunos al verlo como un coeficiente calculable de forma distinta a la del resto pero que comparte su notación. Como ahora estas al tanto de esto, se utilizará la siguiente forma, ya que deberá ser indistinto para ti hacer los cálculos con cualquiera de las dos siempre y cuando recuerdes como definiste la serie y al coeficiente con su subíndice.
Si es periódica, con
, se calcularán los valores de los coeficientes para todo
que sea entero positivo.
Se empieza calculando . Para hacerlo, se debe integrar la función desde
hasta
, que es su periodo.
Para
Como lo que deseas encontrar es el coeficiente , se despeja
Si se compara con lo que se había dicho, para reforzar el entendimiento del porque algunos autores por conveniencia escriben en la serie el coeficiente como o
.
Observa que el coeficiente que se acaba de obtener se parece, para , pero faltaría completar multiplicando ambos lados por
para que quedaran iguales ambas expresiones, tal que
Ahora sí, tanto la expresión mostrada en el lado derecho para el coeficiente que se acaba de calcular como la del 3.2.1 son iguales, pero observa que el lado izquierdo es diferente. Dependiendo de la forma que se utiliza para expresar la serie de Fourier será la forma de expresar el primer coeficiente, .
Si se expresa como
Entonces
En cambio, si se expresa como
Entonces
La diferencia entre ambas es que en una el coeficiente ya incluye a la división entre 2 en su definición.
Con esto se espera que ya sea claro el por qué podrás encontrar escrita de manera diferente la serie de Fourier, dependiendo de cómo definas al coeficiente . Continua ahora calculado el coeficiente
.
Para hacerlo, se debe multiplicar por ambos lados de la función e integrarlos en el periodo, esto es, de
a
.
Para
Recuerda que se había multiplicado al principio ambos lados de la ecuación por
Como lo que se desea es encontrar es el coeficiente , se despeja
Si se quiere generalizar para un periodo p
Por último, para obtener el coeficiente se seguirá un procedimiento parecido al llevado a cabo para obtener
.
Se debe multiplicar por ambos lados de la función e integrarlos en el periodo, esto es de
a
.
Para
Recuerda que se había multiplicado al principio ambos lados de la ecuación por .
Como lo que se desea encontrar es el coeficiente , se despeja
Si se quiere generalizar para un periodo p
Que es la fórmula que se había presentado en el 3.2.1.
Ahora ya sabes de donde salen los coeficientes de la serie de Fourier, tambien conocidos como coeficientes de Fourier.
3. 2. 4. Convergencia de series.
Al utilizar la serie de Fourier para modelar alguna función periódica se desea tener las condiciones necesarias para tener la certeza de que converja cuando menos en los valores de
en los que la función tiene continuidad.
Recuerda, una función se dice que es continua por tramos en mientras existan segmentos finitos del intervalo con extremos
en los que la función tenga continuidad para cada segmento y en cada extremo el límite desde el interior el subintervalo exista y sea finito.
Zill especifica en un teorema las condiciones suficientes de convergencia puntual para una serie de Fourier, en el que dice que si y
presentan continuidad en un intervalo
por tramos, o lo que es lo mismo, son discontinuas en una cantidad finita de puntos en el intervalo, entonces la serie de la función converge a
en un punto de continuidad, y en un punto de discontinuidad converge hacia el promedio de
En el que representa el límite de
en
por la derecha y
el limite por la izquierda.
Nagle, Saff y Snider los definen con la siguiente notación,
Carmona & Filio agregan a las definiciones anteriores la característica ya muy particular de que sea periódica con
, y que
y
son continuas por tramos en
convergiendo la serie a
para el caso en que
sea un punto de continuidad, o si es punto de discontinuidad a
Las tres diferentes formas de decirlo significan lo mismo, y establecen las condiciones de convergencia en un punto. Para comprobarlo se basará en la última forma, y que se va a suponer para ello que la función tiene continuidad en su primera y segunda derivadas.
Si se toma la definición de coeficiente de Fourier
Resuelve la integral
Haciendo de nuevo la integración
Observa que la segunda vez que se resolvió la integral, debido al periodo de el primer termino se anula, como ocurrió durante la primera ocasión.
Al tener continuidad en el intervalo
entonces
, siendo
constante apropiada.
Tambien se tiene que , por lo que
Resolviendo para el coeficiente se tendría que
Esto lleva a que cada elemento, en su valor absoluto, de la serie de Fourier de es, cuando mucho, igual al de la serie convergente
Por lo que se podría decir, entonces que la serie de Fourier tambien es convergente.
Para que puedas entender por medio de un ejercicio práctico el concepto, un ejemplo sencillo de convergencia que Nagle, Saff & Snider presentan es el que se encuentra a continuación:
Si se deseara saber a qué función tiene convergencia la serie de Fourier de definida como
Lo resolverías de la siguiente forma.
Por el teorema de convergencia, se sabe que la serie de Fourier converge a una función con
.
Se sabe tambien, por la descripción del problema, que esa función a la que converge se encuentra descrita por
Una forma de graficar seria
De esta manera conoces ahora la función a la que se converge y su forma.
Es importante que sepas que las series de Fourier pueden derivarse e integrarse. Observa ahora lo que dicen los teoremas respectivos.
Para derivar una serie de Fourier se supondrá que tanto como
tienen continuidad en tramos para
. La serie de
puede ser calculada haciendo uso de la serie de
derivando termino por termino. Esto es, si se tiene
Entonces
Esto aplica para periódica y continua en el intervalo
con
Para integrar una serie de Fourier se supondrá que tiene continuidad por tramos para
y que su serie es
Entonces
Funcionando para cualquier en
.
Haciendo uso de lo que se sabe ya de los coeficientes de Fourier, de la periodicidad y habiendo entendido la convergencia de las series, se observaran las series de senos y cosenos de Fourier.
Si tiene continuidad por tramos en
, la serie de cosenos de Fourier para
en el intervalo
resulta ser
Con el coeficiente modelado como
Para
Si tiene continuidad por tramos en
, la serie de senos de Fourier para
en el intervalo
resulta ser
Con el coeficiente modelado como
Para
Como puedes observar, la forma en que se presentan las series de senos y cosenos de Fourier es sencilla, gracias a los conocimientos adquiridos hasta el momento, pero falta de revisar una última característica que te permitirá ademas de aplicarla en el siguiente tema. Esta característica es la de la paridad de las funciones y sus respectivas series.
· Se dice que una función es par en
si y solo si se cumple que
para toda
dentro del intervalo.
· Caso contrario, se dice que una función es impar en
si y solo si se cumple que
para toda
dentro del intervalo.
Observa un par de ejemplos.
a) Supón que se tiene una función tal que
, por tanto, se puede decir que la función
es impar.
b) Supón ahora que se tiene una función tal que
, por tanto, se puede decir que la función
es par.
c) Si se quisiera saber si es par o impar para
, solo se tendría que desarrollar de acuerdo a los criterios definidos.
Las funciones no tienen por qué caer forzosamente en alguna de las dos categorías. Si alguna función no cumple con ninguno de los criterios para poder ser clasificada como par o impar, se puede decir que la función no es par ni impar. Este es el caso de la función , que con lo que has visto en los ejemplos podrás comprobar por ti mismo. El que una función sea par significa que es simétrica con respecto al eje de
, y que sea impar significa que la simetría estará con respecto al origen.
Carmona & Filio presentan un conjunto de 7 teoremas al respecto de las funciones pares e impares.
1. Si y
son funciones pares, entonces el resultado de
será una función par.
2. Si y
son funciones impares, entonces el resultado de
será una función impar.
3. Si y
son funciones pares, entonces el resultado de
será una función par.
4. Si y
son funciones impares, entonces el resultado de
será una función par.
5. Si es par y
es impar, entonces el resultado de
será una función impar.
6. La transformada de Fourier de una función periódica par con
se representa en serie de Fourier de cosenos, esto es
Y sus coeficientes serán
, para
7. La transformada de Fourier de una función periódica impar con
se representa en serie de Fourier de senos, esto es
Y sus coeficientes serán
, para
Una de las propiedades de las funciones simétricas es que, si una función continua por partes en el intervalo
es par,
Recuerda que la integral es el área bajo la curva, por lo que gráficamente es entendible esta característica, ejemplificando con el siguiente diagrama.
Este representa la función en el intervalo indicado.
Ahora, si la función continua por partes en el intervalo
es impar,
Gráficamente puede ejemplificarse con el siguiente diagrama.
Este representa la función en el intervalo indicado.
3. 2. 5. Funciones no periódicas en series
Una función no periódica puede ser tomada como periódica para un tramo en el que presenta continuidad.
Supón que se tiene una función . Esta función podría ser desarrollada como una serie de Fourier de cosenos o de senos, significando esto que
se consideraría como par o impar, para el primer y segundo casos respectivas.
A continuación, se define la función de las dos formas para que puedas ver como se comportaría.
Se define primero de forma completa acotándola en
En donde
Esto es, es impar.
Su grafica seria
Ahora, si se toma como periódica solamente para un tramo, en este caso el derecho representándola como función par se tendría
En donde
Esto es, es par.
Su grafica seria
Expandiendo la función impar se tiene una gráfica como la que sigue
Si en cambio se expande la función par, quedara una gráfica asi
En cualquiera de los dos casos, se puede ya realizar un desarrollo en series de Fourier de senos o cosenos, dependiendo de si se elige la primera o la segunda grafica.
Un segundo ejemplo puesto por los autores es el de desarrollar en serie de senos y de cosenos la función
Para hacerlo, si se expande la función de forma impar (cosenos) se tendría que
Lo que puede graficarse como
Recuerda que la transformada de Fourier de una función periódica impar con
representada en serie de Fourier de senos es
Con coeficientes
, para
Esto es,
Por lo que sustituyendo los coeficientes se tiene que la serie desarrollada en senos para función dada es
Para desarrollarla en cosenos el procedimiento es idéntico, solamente haciendo uso de la definición de la serie par.
Se tiene, de esta manera, que
La cual puede graficarse como
Tomando tambien del tema anterior la definición de la transformada de Fourier de una función periódica par con
que se representa en serie de Fourier de cosenos se tiene que
Y sus coeficientes serán
, para
Esto es,
Sustituyendo los coeficientes se tiene que la serie desarrollada en cosenos para la función dada es
Con estos ejemplos has visto como una función no periódica puede ser tomada como periódica para un tramo en el que presenta continuidad, facilitando su desarrollo en series.
3. 2. 6. Aplicaciones de las series de Fourier en fenómenos físicos
Las series de Fourier hacen uso de desarrollos en series trigonométricas, y esto permite que puedan ser utilizadas para expresar funciones presentes en distintos fenómenos físicos.
Fenómenos que requieren dentro de su análisis expresar funciones en forma de series trigonométricas son los que presentan flujo de calor, cuerdas que vibran, movimientos de masas, fuerzas periódicas, resonancias y oscilaciones amortiguadas, entre muchos otros.
Edwards & Penney muestran ejemplos en donde se aplican las series de Fourier de los cuales se presentarán algunos de forma general, agregando al final un par de lecturas que deberás hacer para observar cómo se hace uso de estas abstracciones una vez que se introducen valores.
Supón la existencia de un sistema, con una masa situada en el extremo de un resorte con constante de Hooke
que se encuentra con la influencia de
, siendo esta una fuerza externa periódica, en donde el movimiento de la masa es del tipo no amortiguado.
El sistema puede representarse gráficamente de la siguiente forma
La distancia que se mueve desde el punto en donde se encuentra en equilibrio cumple con la ecuación que seguramente viste en tus cursos de física,
Cuya solución general tiene una forma como
La frecuencia natural, como puede observarse, es , el cual es igual a
, y los coeficientes pueden ser determinados por los valores iniciales, siendo
una solución particular.
Se puede hacer uso de la serie de Fourier para hallar una solución particular periódica de . A esta solución se le conoce como periódica estacionaria, y será representada por
Se considera que la fuerza externa es función impar con , por lo que podrá ser representada como una serie de senos de Fourier.
Si la frecuencia de la función seno no es igual a la natural, o lo que es lo mismo para
se puede encontrar una solución periódica del tipo
Por medio de la sustitución de las series de las ecuaciones presentadas para poder calcular .
Para darle un toque practico, se piensa que la constante de Hooke es , la masa es de 2kg y la fuerza externa se encuentra definida como periódica de tipo impar con
de la forma
Un diagrama que representa el comportamiento de la función de la fuerza externa pudiera ser este
La serie de Fourier de la función anterior es
Para llevar a cabo el cálculo de la solución periódica estacionaria se tiene que
Lo único que se tendría que hacer es calcular para sustituirlo en la función anterior
, que es la que se pretende encontrar.
Al final, si se desarrollan las operaciones de forma adecuada, deberá quedar que
Por lo que
Otro ejemplo de las aplicaciones que tiene la serie de Fourier es en la resonancia.
Se dice que si hay un termino en la solución de la serie de
en
en donde
es igual a la frecuencia natural
, este término genera resonancia pura. Analizando lo dicho para llegar a una expresión que lo resuma, si
, entonces
, por lo tanto
El motivo de que se genere la resonancia pura radica en que la ecuación anterior
Tiene como solución de resonancia, cuando , a
Recordando, para llevar a cabo el cálculo de la solución periódica se tiene que
Para este ejemplo, la solución de la ecuación anterior será
