sábado, 17 de agosto de 2019

3. 4. Refracción

Algunos de los fenómenos que interesa estudiar en este tema es por qué una regla metida en agua parece doblarse, ¿Qué es lo que realmente se dobla? ¿En qué fenómenos se produce este cambio en la dirección?

El cambio de dirección se puede observar en muchos fenómenos, por ejemplo, cuando se viaja en aguas tranquilas sobre una lancha de remos, al introducir uno de estos el agua manteniendo el otro en el aire se observa que la lancha gira en dirección en la que se introdujo el remo. De la misma manera, los aviones utilizan un mecanismo similar al de la lancha para girar. Se pueden mencionar otros dos ejemplos en los que se produce un cambio de dirección: dos ruedas refractándose y el problema del salvavidas.

Ruedas refractándose.

Observen un par de ruedas que se mueve en línea recta y una de las llantas toca primero la superficie más rugosa como se muestra en la figura.

clip_image002

Ilustración 1 Dos ruedas moviéndose entre dos superficies.

Como una de las ruedas se mueve a una velocidad menor dentro del segundo medio entonces ocurre un cambio de dirección. Si en el segundo medio la rapidez es menos entonces el nuevo camino se acerca a la normal, línea perpendicular a la línea que una las dos superficies, y si por el contrario es más liso que el primero entonces se aleja de la normal como se muestra en las figuras.

clip_image004

Ilustración 2 Dos ruedas que al refractarse se acercan a la normal.

clip_image006

Ilustración 3 Dos ruedas que al refractarse se alejan de la normal.

Se consideran ahora dos posiciones de dos ruedas que se mueven en dos medios como se muestra en la figura 4.

clip_image008

Ilustración 4 Dos posiciones del par de ruedas que se mueven en dos medios.

Suponiendo que la velocidad con la que se mueven las ruedas en el medio es 1 es clip_image010 y que es clip_image012 es la velocidad con la que se mueve en el medio 2. Usando la figura anterior se puede concluir que clip_image014 y clip_image016 son los ángulos de incidencia, ángulo con que incide el rayo al medio, y ángulo de refracción, ángulo que se forma entre el rayo en el medio y la línea que divide a los dos medios, respectivamente, es decir, el ángulo que forma la dirección en la que se mueve el par de ruedas en el medio 1 y 2 y la recta perpendicular a los dos medios.

Si el tiempo que transcurrió a pesar de la posición ABC a la posición A’B’C’ es t entonces se tiene que

clip_image018      y          clip_image020

De manera que

clip_image022

Por otra parte, se tiene que

clip_image024 y que       clip_image026

Y de estas dos ecuaciones se obtiene

clip_image028

Combinando se tiene que

clip_image030

El salvavidas.

Observen otro ejemplo, una persona que está en el mar tiene dificultades (se está ahogando), por lo que grita pidiendo auxilio. En la playa lo escucha un salvavidas y por supuesto se prepara para ir al rescate del infortunado nadador. Un esquema de la situación se muestra en la figura.

clip_image032

Ilustración 5 posiciones relativas entre el vacacionista y el salvavidas.

El salvavidas necesita llegar desde donde se encuentra hasta donde se halla la persona en problemas en el menor tiempo posible ¿la trayectoria que debe seguir es una línea recta?

Resulta que la trayectoria más eficiente no es la línea recta que une los puntos donde se encuentra el salvavidas (A) con el punto donde se halla el nadador (B), ya que la rapidez con la que se mueve el rescatista sobre la playa clip_image034 es mayor que la rapidez con la que se desplaza este personaje en la playa clip_image036

Un camino para la salvación.

Así pues, la ruta que debe seguir el salvavidas no es la recta que une los puntos en donde se encuentra el con el punto donde está el nadador, pues esta sería el camino por el que recorrería la menor distancia y lo que quiere el salvavidas es tardarse el menor tiempo posible.

Para encontrar el mejor camino que debe seguir el salvavidas, es decir, por la que se tarda el menor tiempo posible se analiza la figura.

clip_image038

Ilustración 6 Una posible ruta para el rescate.

El tiempo empleado por el salvavidas para ir del punto A al punto O es clip_image040 y el tiempo para ir desde O hasta B es desde luego clip_image042; de manera que el tiempo total para ir desde el punto A hasta B es la suma de los anteriores, es decir:

clip_image044       o       clip_image046

Por otra parte, en términos de las constantes h, a y b, se tiene que:

clip_image048    y      clip_image050

Por lo que

clip_image052

El camino para el cual el nadador se tarda el menor tiempo posible es aquel para el cual la derivada de t con respecto a x es cero, esto es clip_image054.

Se encuentra pues esta derivada.

clip_image056

De manera que:

clip_image058

Ahora usando la siguiente figura:

clip_image060

Ilustración 7 Onda plana moviéndose entre dos medios.

Observa que:

clip_image062

Y

clip_image064

Por lo que

clip_image066

De manera que el camino de menor tiempo es aquel para el que se cumple la relación anterior.

El mismo análisis se puede hacer en vez de ruedas y salvavidas se tienen ondas mecánicas o electromagnéticas.

La refracción de la luz.

Casi todos saben que la luz viaja normalmente en línea recta al ir de un lugar a otro; de manera que este viaje lo hará por la ruta más eficiente, es decir, en línea recta si no existe nada que obstruya su paso entre los puntos que se estén considerando. Sin embargo, se sabe también que la luz viaja en el vacío con una rapidez de clip_image068; esta rapidez es un poco menor en el aire, y que en el agua es solamente ¾ partes de ese valor. En general la luz se mueve con distinta rapidez en diferentes medios, es decir, la rapidez con la que se propaga la luz depende del medio en el que lo hace. De manera que cuando la luz viaja en el aire por ejemplo y pasa a otro medio como el agua entonces su rapidez cambia, en este caso se hace menor; este cambio de rapidez de la luz se muestra como un cambio en la dirección en la que se mueva; por esto cuando se pone una regla dentro de una tina llena con agua se ve doblada como se muestra en la figura.

clip_image070

Ilustración 8 Lápiz de madera dentro de un vaso lleno con agua

A este cambio de dirección se le llama refracción. Este cambio de dirección no es exclusivo de la luz, ya que un par de ruedas que se mueven con cierta velocidad en un medio cuando pasan a otro más rugoso también cambian de dirección.

Así pues, la luz al igual que el par de ruedas, también cambia de dirección al pasar de un medio a otro, es decir, se refracta debido precisamente a la diferencia de velocidades con la que se propaga en los distintos medios. Así que el análisis que se hizo para el par de ruedas funciona también para la luz.

De manera que la relación entre las velocidades con las que se propaga la luz en dos medios 1 y 2 clip_image010[1] y clip_image012[1] respectivamente y los ángulos de incidencia y refracción clip_image014[1] y clip_image016[1] es la que se encuentra para la refracción de las ruedas:

clip_image030[1]

A esta relación se le conoce como la Ley de Snell.

El tiempo mínimo

Como saben la luz es también una onda, de manera que esta se puede analizar desde el punto de vista de los rayos o de los frentes de onda. Así pues, un rayo de luz es una línea en el espacio que corresponde a la dirección del flujo de la energía radiante. Es un instrumento matemático más que una entidad física, los rayos son trayectorias ortogonales de los frentes de onda, es decir, son líneas normales a los frentes de onda en cada punto de intersección. De la misma manera que el salvavidas cuando la luz se refracta, como cuando pasa del aire al agua, tampoco sigue ya un camino recto, sino que la trayectoria que sigue un rayo de luz entre dos puntos dados es aquella que es recorrida en el tiempo mínimo. Esta idea fue formulada por Fermat y se le conoce como el principio de Fermat del tiempo mínimo. Haciendo lo mismo que para el salvavidas se obtiene, nuevamente, la ley de Snell.

clip_image066[1]

El índice de refracción.

Ahora se define el índice de refracción n de una materia como:

clip_image072

Donde c es la velocidad de la luz en el vacío y V es la velocidad de la luz en el medio. Como c es la máxima velocidad de luz entonces se tiene que clip_image074. Por otra parte, el índice de refracción es una función de la longitud de onda, siendo mayor para la luz azul que para la luz roja. En consecuencia, la ley de Snell la pueden escribir como:

clip_image076

La cual se puede reescribir como

clip_image078

De manera que la luz y también las ruedas de la carreta se ven obligadas a cambiar la dirección de movimiento cuando pasan de un medio a otro ¿pero existirán otros casos en los que se tiene que cambia la dirección? La respuesta es que si, baste considerar el ejemplo del salvavidas.


3. 4. Refracción

Algunos de los fenómenos que interesa estudiar en este tema es por qué una regla metida en agua parece doblarse, ¿Qué es ...