En esta actividad se retoman todos los conocimientos adquiridos en la unidad, por lo que integrarás los ejercicios realizados anteriormente, con las correcciones pertinentes.
1. Recopila los ejercicios realizados durante la unidad 3 (actividades 2 y 3) e intégralos en la evidencia ya corregidos.
Actividad 2. Regla de Cramer.
La regla de Cramer es un método sencillo que se usa para resolver un sistema de ecuaciones lineales, a través de sus matrices y determinantes.
Para trabajar con la regla de Cramer, a partir de una matriz A, se deben construir otras matrices, las cuales se denotarán como A. Cada Ai es idéntica a A, excepto por la columna i. En cada Ai la columna i será reemplazada por el vector b. De esta manera, al obtener los determinantes de cada una de las matrices formadas, se podrá aplicar la regla de Cramer.
Para comprender el tema de la unidad 3, te invito a realizar la lectura de la unidad, y posteriormente realiza lo siguiente
Investiga las propiedades de las determinantes y desarrolla un ejemplo de cada propiedad.
Para cualquier matriz A, A y su transpuesta tienen el mismo determinante:
Si la matriz tiene una fila o una columna en la que todos sus elementos son cero, entonces |A|=0.
det(A)=a⋅d−b⋅c2
Si la matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces su determinante también es cero: |A|=0.
Las filas 2 y 3 de la matriz son los múltiplos de la primera fila.
El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes:
Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor.
Extraemos el factor común de la segunda fila.
Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo.
El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal.
Si una matriz es invertible, el determinante de la matriz inversa es el inverso de la determinante.
Suma y resta de determinantes. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales, utilizando menores y cofactores. Es importante que incluyas las operaciones que realizas paso a paso. Evita colocar solo el resultado.
Con las ecuaciones anteriores realiza:
a) A+B
b) A-B
c) B-A
Comparación de determinantes. Sean P y Q dos matrices de 3 x 3. Encuentra los determinantes de P y de Q y compáralas. Recuerda incluir operaciones que realizas, paso a paso:
Teorema de la regla de Cramer. Investiga sobre la regla de Cramer y el procedimiento a seguir para resolver la siguiente ecuación.
La realización de este ejercicio me ayudo a reafirmar el conocimiento adquirido durante la unidad 1 y 2 de esta materia, así mismo para poder entender el desarrollo de las diferentes propiedades con las que se cuenta para la solución de determinantes.
También me permitió comprender un poco más la forma de realizar las determinantes por el método de triangulación y por el método de Cramer.
No ha sido sencillo, me ha costado mucho tiempo y esfuerzo el comprender este tipo de operaciones, sin embargo, creo que las he desarrollado de una manera bastante correcta.
Evidencia de aprendizaje. Aplicación sobre determinantes.
En la actualidad se consideran primero las matrices antes que las determinantes, sin embargo, se la da más énfasis al estudio de las determinantes que a las matrices. En la actualidad el uso de matrices y determinantes son de mucha utilidad en los problemas prácticos de la vida cotidiana. El uso de determinantes permite en desarrollo de habilidades del pensamiento matemático, analítico, la comunicación y la modelación, entre otros, dentro de un contexto que sea apropiado para dar respuesta a una multiplicidad de opciones que surgen de manera de manera cotidiana.
El uso de determinantes nos ofrece un gran apoyo en el cálculo numérico, también en los lenguajes de programación y la introducción de datos en tablas organizadas en filas y columnas.
Introduce tu actividad explicando cómo ayudan las determinantes a resolver problemas d de la vida cotidiana. Puedes compartir ejemplos, es importante que tu argumento evidencia comprensión por el tema.
Ejercicio 1. Resuelve mediante la regla de Cramer 2X2
Ejercicio 2. Resuelve mediante la regla de Cramer 3X3
Ejercicio 3. El siguiente cuadro muestra los porcentajes requeridos de ciertos químicos, para desarrollar un fertilizante especial contra ciertas plagas. Mediante el uso de determinantes, resuelve el siguiente ejercicio:
|
Mezcla |
Sustancia 1 (x) |
Sustancia 2 (y) |
Sustancia 3 (z) |
Cantidad deseadas por sustancia |
|
A |
20 |
25 |
40 |
450g |
|
B |
13 |
20 |
12 |
390g |
|
C |
20 |
20 |
20 |
400g |
Se plantean las ecuaciones lineales
Se convierte la ecuación lineal en matriz.
Preparo la determinante dividiéndolo en componentes más pequeños.
Realizo el despeje de la primera determinante.
Realizo el despeje de la segunda determinante.
Realizo el despeje de la tercera determinante.
Teniendo ya sacadas estas determinantes se realiza la siguiente operación para poder sacar la determinante de la matriz.
Al realizar el ejercicio 3 de esta actividad, me tope con varias dudas, por consiguiente, no estoy completamente segura de haberlo realizado correctamente, sin embargo, busque varios tutoriales y esta fue la manera en que comprendí que se debería de hacer, aunque no estoy segura de ello.
Verdaderamente quedé con muchas dudas al realizar esta operación, así que la realice también de otra manera, para que en caso de que la que acabo de subir no sea la correcta posteriormente en la corrección suba la otra operación.
2. Ahora que ya has aplicado distintos métodos para resolver ecuaciones lineales, realiza cuidadosamente el siguiente cuadro comparativo:
|
Método |
En qué situaciones se puede aplicar |
Describa en tus palabras en que consiste |
|
Operaciones elementales de renglón. |
Una de las situaciones en la que se puede aplicar para saber cuántas preguntas responde una persona respecto a la calificación que saco en un examen |
Este procedimiento sirve para solucionar matrices solo usando tres operaciones elementales con renglones de matrices, intercambio de renglones, multiplicación de un renglón con una constante que no sea cero y sumando un renglón con otro. |
|
Método de Gauss. |
Un ejemplo que puedo plantear es encontrar la cantidad de almohadas, edredones y colchas que compro un hotel tan solo teniendo la cantidad de producto total que compro, la cantidad que gasto, el costo de cada objeto (almohada, edredón y colcha) |
Es cuando transformas un sistema de ecuaciones en otro que sea equivalente pero que la forma de este sea de manera escalonada, para poder obtenerlo se debe usar el sistema de eliminación de ecuaciones dependientes. |
|
Método de Gauss-Jordan. |
Este método puede ser usado para organizar las distribución de productos. |
Este método puede resolver un sistema de ecuación lineal con números variables, encuentra matrices y matrices inversas, convirtiendo una matriz aumentada en una matriz de identidad. |
|
Determinantes, menores y cofactores de los determinantes. |
El uso más común de los determinantes es para el cálculo de áreas y volúmenes especialmente en espacios euclídeos. Por ejemplo para encontrar el área de dos paralelogramos adyacentes. |
Se le llama método de determinate al número obtenido al sumar los diferentes productos de n número de elementos que se pueden formar con los elementos de una matriz, debe haber un elemento de cada fila distinta y uno de cada columna distinta, al resultado se le pone el signo positivo si el orden de las filas son iguales a el de las columnas y en caso contrario se le pone signo negativo |
|
Regla de Cramer. |
Se puede usar para encontrar el costo de materiales de más de un producto usando un método de discriminación, para esto se debe tener el costo en materiales del cada producto y la cantidad que se tiene para la producción de los mismos. Con ello se puede identificar la cantidad que se puede generar de cada artículo. |
Esta regla se utiliza para resolver un sistema de ecuación lineal que tiene igual número de ecuaciones como de incógnitas, entonces su determinante de los coeficientes será distinto de cero. |
3. Propón una situación de la vida diaria , en la que podrías requerir la aplicación de alguno de los métodos revisados en la unidad, plasma la situación, tu ecuación lineal, justifica el método a usar, y resuelve el problema mediante el método que consideres pertinente.
Un ejemplo resuelto por el método de Cramer sería el siguiente:
En una empresa manufacturera se debe fabricar la cantidad de 85 artículos pero de tres distintas clases. Los costos que genera la producción de estos artículos suman la cantidad de $500.00 y el costo de cada artículo sería de la siguiente manera:
· Articulo A = $20
· Articulo B =$10
· Articulo C = $5
Por otro lado, el costo de mano de obra de la producción total es de $300, y el costo de cada artículo quedaría de la siguiente manera:
· Articulo A = $15
· Articulo B =$5
· Articulo C = $2
Para poder solucionar esto es necesario identificar las cuales son las posibles variables que hay en este problema.
Al estar hablando de tres productos se tiene por entendido que son tres variables, por ende, se tiene que:
X = # de unidades de producto tipo A
Y = # de unidades de producto tipo B
Z = # de unidades de producto tipo C
Por consiguiente, las ecuaciones quedarían de la siguiente manera:
Ya que se establecen las ecuaciones, se puede resolver con la Regla de Cramer, la cual consiste en encontrar el resultado por medio de matrices y determinantes.
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