3. 5. Formación de imágenes

Cuando la luz pasa de un medio a otro cambia de dirección, es decir, se refracta. Esta refracción se debe a que la luz se propaga con distinta rapidez en los distintos medios. Así, por ejemplo, los rayos de luz se desvían al entrar en un bloque de vidrio y se vuelven a desviarse al salir de este. Algunos objetos de vidrio, como las lentes, tienen la capacidad de formar imágenes que se ven, ya sea más grandes o más pequeñas que objeto original. También pueden estar más cerca o más lejos que el original.

Actualmente las lentes tienen muchos usos, se utilizan en la construcción de anteojos para corregir defectos de la visión, en la construcción de microscopios, telescopios y cámaras fotográficas.

De la misma manera, que el fenómeno de la reflexión de la luz se puede usar y de hecho se utiliza en la formación de imágenes. Los instrumentos que se utilizan para formar imágenes también pueden ser, al igual que con las lentes, más pequeñas o más grandes que el objeto original, o bien, estar más cerca o lejos.

Así pues, las imágenes se forman, ya sea por reflexión o por refracción, las primeras en espejos y las otras en lentes. En este tema se utilizará la aproximación de rayos y que la luz se propaga en línea recta.

Reflexión en superficies esféricas.

Considérese un rayo que se refleja en una superficie esférica como la que se muestra en la figura.

Ilustración 1 Trayectoria de un rayo en una superficie esférica.

En esta figura C es el centro de la curvatura que coincide con el centro de la esfera y el vértice O es el polo de la esfera. La línea que pasa por O y C se llama eje principal. También se considera que el origen del sistema de coordenadas se encuentra en O, de manera que las cantidades que se miden a la izquierda de O son negativas y a la derecha positivas.

Si en el punto P se coloca una fuente de ondas esféricas, entonces el rayo PA se refleja como rayo AQ, como los ángulos de incidencia y reflexión son iguales se tiene que:

Ya que . De la misma manera se puede ver que:

De donde se obtiene que:

Considerando que los ángulos , y son muy pequeños, lo cual significa que los rayos son paraxiales, entonces se puede escribir:

Sustituyendo en la ecuación , se obtiene

Es decir,

Esta ecuación se conoce como la fórmula de Descartes para la reflexión en una superficie esférica.

En el caso de que el rayo incidente sea paralelo al eje principal, lo cual es equivalente a colocar el objeto a una distancia muy grande del espejo, se tiene que , por lo que la ecuación
 se transforma en:

El punto F se llama foco y su distancia al espejo se conoce como distancia focal, la cual se representa con la letra . Como , se puede escribir:

En caso de que , se tiene que , lo cual significa que todos los rayos incidentes que pasan por el foco F se relejan paralelamente al eje principal.

La ecuación para los espejos convexos es la misma que para los cóncavos, solo se tienen que considerar una convención de signos, en este caso es la que se menciona en la siguiente tabla.

Tabla 1 Convención de signos para una superficie esférica reflectora.

	Positivo (+)	Negativo (-)
Radio	Cóncavo	Convexo
Foco	Convergente	Divergente
Objeto	Real	Virtual
Imagen	Real	Virtual

Refracción en una superficie esférica.

Considérese ahora la refracción en una superficie esférica que separa dos medios, cuyos índices de refracción son  y  como se muestra en la figura:

Ilustración 2 Rayo refractado en una superficie esférica.

Los elementos geométricos son los mismos que se definieron en la sección anterior. En este caso los rayos incidentes como PA en la dirección AD el cual, prolongado hacia atrás en el primer medio intercepta el eje principal en Q.

En la figura se puede ver que  de donde se obtiene que  y también . De manera que de acuerdo con a la ley de Snell  y si se supone que los rayos son paraxiales, es decir, que tienen inclinación muy pequeña entonces los ángulos , , , y son pequeños y se puede considerar que  y , por lo que la ley de Snell se escribe como

De manera que

También se tiene que

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación  se obtiene

Esta ecuación se conoce como la fórmula de Descartes para refracción en una superficie esférica

El foco objeto , que en ocasiones se llama primer punto focal, de una superficie esférica refringente es la posición de un objeto puntual sobre el eje principal tal que los rayos refractados son paralelos al eje principal, lo cual es equivalente a tener la imagen del punto en el infinito, es decir, . La distancia del objeto a la superficie esférica se llama distancia focal objeto y se representa con . De manera que haciendo  y  en la ecuación  
 se obtiene

O bien

De la misma manera, cuando los rayos incidentes son paralelos al eje principal, lo que es equivalente al tener el objeto a una distancia muy grande de la superficie esférica , los rayos refractados pasan por un punto  sobre el eje principal al que se le llama foco imagen o bien segundo punto focal. En este caso, la distancia de la imagen a la superficie esférica se llama distancia focal imagen y se representa con . Si ahora se hace  y  en la ecuación , se obtiene

O bien

Es claro que . También se puede escribir

O bien

Estas ecuaciones se aplican tanto a superficies cóncavas como convexas, para lo cual se utiliza la convención que se muestra en la tabla.

Tabla 2  Convención de signos para una superficie esférica refractora

	Positivo (+)	Negativo (-)
Radio	Cóncava	Convexa
Foco	Convergente	Divergente
Objeto	Real	Virtual
Imagen	Virtual	Real

Lentes.

Una lente es un medio transparente limitado por dos superficies curvas, donde al menos una de ellas esta curvada. Las superficies que no son plana están centradas en un eje común. Estas superficies son generalmente de forma esférica. Cuando una lente está formada por un elemento, es decir, cuando tiene dos superficies refractoras se llama lente simple. Cuando se tiene más de un elemento se llama lente compuesta.

Una lente también se puede clasificar en delgada o gruesa. De esta manera las lentes simples pueden tomar diversas formas. Las lentes se conocen como convexas, convergentes o positivas, son más gruesas en el centro por lo que tienden a disminuir el radio de curvatura de los frentes de onda, es decir, la onda se hace más convergente conforme atraviesa la lente. También se tienen las lentes cóncavas, divergentes o negativas, son más delgadas en el centro y tienden a hacer más divergente el frente de onda de lo que era al principio.

Ecuación de las lentes delgadas.

En una lente delgada el espesor es muy pequeño comparado con los radios de las esferas que la forman. Para simplificar los cálculos se supone que a ambos lados de la lente el medio es el mismo y que su índice de refracción vale uno, mientras que el índice de refracción de la lente es n.

El eje principal de la lente es ahora la recta que pasa por los centros  y  de las esferas que forman la lente como se muestra en la figura.

Ilustración 3  Trayectoria de un rayo a través de una lente delgada.

Considerando el rayo incidente PA que pasa por P, en la primera superficie el rayo se refracta de acuerdo con el rayo AB, si este rayo se prolonga pasaría por , que es la imagen de P producida por la primera superficie refractora. La distancia q’ de Q’ a  se obtiene por medio de la ecuación:

Esto es

El rayo sufre en B una segunda refracción y emergiendo como rayo BQ. Se dice que Q es la imagen final de P producida por la lente. Por otro lado, para la refracción en B el objeto (virtual) es Q’ y la imagen es Q a una distancia q de la lente. Así que aplicando nuevamente la ecuación  con q en vez de p, se tiene que

En esta ecuación esta invertido el orden de los índices de refracción porque el rayo pasa de la lente al aire. Es preciso destacar que las distancias que aparecen en las ecuaciones (*) y (**) se deben medir desde  y desde  respectivamente, por lo que en la ecuación (*) se debe escribir  en vez de q’, donde  es el espesor de la lente. Sin embargo, se está considerando una lente muy delgada por lo que se puede desprecia t, lo cual equivale a medir las distancias desde un origen común O. Sumando la ecuación (*) y la ecuación (**) se puede eliminar q’ y se obtiene:

Esta ecuación se conoce como la Fórmula de Descartes para una lente delgada.

Por otra parte, se tiene que el foco objeto , o primer punto focal de la lente, es la posición del objeto se llama distancia focal y se representa con . Así que sustituyendo  y , en la ecuación , se obtiene que

A esta ecuación se le conoce como la ecuación del fabricante de lentes.

Esta fórmula también se puede escribir como:

En esta última expresión no aparecen ni los índices de refracción ni los radios. La utilidad de esta expresión es que  se puede determinar experimentalmente de una manera muy fácil.

Por último, es necesario destacar que para un rayo incidente paralelo al eje principal  y el rayo incidente pasa por un punto  para el cual  y se llama foco imagen. Así pues, los dos focos de una lente delgada están simétricamente ubicados en los dos lados de esta.

Si f es positiva, la lente se llama convergente y si es negativa de denomina divergente. La convención de signos es la misma que para una superficie esférica refractante.