La transformada de Laplace es un recurso matemático que será de gran utilidad dentro del cálculo de ecuaciones diferenciales asociadas con fenómenos físicos, ya que permitirá cambiar problemas de cálculo por problemas aritméticos, facilitando su resolución y permitiendo interpretar su realidad desde otro marco de referencia.
3. 1. 1. Definición de transformada de Laplace
La transformada de Laplace, de acuerdo con Zill, se establece como
Donde es una función definida en todo
mayor o igual a cero.
Para distinguir una función previa a ser transformada de una que ya lo ha sido, algunos autores en sus libros hacen uso de letras minúsculas al escribirlas, y una vez ya transformada de mayúsculas.
Un ejemplo muy básico de ello sería el querer obtener la transformada de Laplace para una función representada por un numero constante. Se propone
En este caso,
Como y
(recuerda que por definición
),
Entonces
Para .
Esta última condición se debe a que sí el exponente de
,
, será positivo, y si
tiende a infinito en el limite,
hace que la integral no exista, a lo que se le nombra divergencia. En otras palabras, cuando el límite no existe, tampoco lo hace la integral. Caso contrario, si el límite existe hay convergencia en la integral, que es otra forma de decir que existe.
Como ha sido mostrado, cuando la integral tiene convergencia, resulta de esta una función de , esto es,
Se ha visto que la transformada de Laplace permite cambiar una función en otra para facilitar y aplicar las operaciones necesarias en su resolución, pero al final lo que se tiene es el resultado en unidades diferentes, lo que aun dejaría sin tener la solución del problema original. Se debe entonces encontrar la manera de regresar a las formas previas a la transformación para poder dar respuesta a las preguntas inicialmente planteadas en los problemas, sin deja soluciones inconclusas.
3. 1. 2. Definición de la transformada inversa
Para resolver el planteamiento final del subtema anterior, en donde se estableció la necesidad de regresar, una vez aplicada la transformada de Laplace, a las variables iniciales del problema en un afán de no dejar la solución inconclusa, se tratará de completar el algoritmo de resolución.
Para resolver problemas haciendo uso de la transformada, lo que sea inferido que se puede hacer hasta el momento es:
1. Modelar por medio de ecuaciones los problemas presentados.
2. Calcular la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación resultante
3. Despejar la transformada de Laplace de la función correspondiente a la incógnita del problema original.
Atendiendo a la necesidad de solucionar la incógnita original, el último paso de nuestro algoritmo deberá ser:
4. Buscar una función que resulte en la transformada de Laplace despejada.
En este último paso lo que se hará será aplicar aquello a lo que se le conoce como transformada inversa.
La transformada inversa de Laplace se escribe como , lo que significa que
Siempre y cuando
Observa un ejemplo de cómo se aplicaría la transformada inversa de Laplace.
Supón que se tiene una función en el dominio de
Entonces
Para resolverla se puede realizar todo el proceso de manera invertida al llevado a cabo en el subtema 3.1.1. Definición de transformada de Laplace, completando la equidad para agregar los términos que se sabe que tiene la definición de la transformada de Laplace,
Para al final tener una expresión similar a
Que se podría entonces convertir a
Al ver la expresión, se podría inferir que si se tiene
Y como la transformada de Laplace, por definición, se expresa como
Entonces se tiene ya completa, para un . Se habrá encontrado la transformada inversa de Laplace para
.
Puedes observar que se requiere mucha habilidad y practica para poder encontrar transformadas inversas por medio de ir completando las expresiones provistas hasta llegar a la que se necesita. Es por eso por lo que se basara, para facilitar su correcta aplicación, en transformadas de Laplace que se calculara en temas posteriores y otras ya calculadas.
Un ejemplo de a que se refiere:
Como en el tema 3.1.1. se encuentra que la transformada de Laplace de
Queda calculada como
Entonces se sabe que la transformada inversa de Laplace para
Es
Para poder facilitar llegar a una expresión conocida como transformada de una función, se recomienda convertir primero el denominador a una forma reconocida y posteriormente el numerador. Algunas formas de manipular denominadores pueden ser, entre otras, el método de completar la expresión cuadrática y el método de fracciones parciales.
Bronson, R., presenta esos dos métodos de la siguiente manera:
Método 1
Si se tiene una expresión cuadrática polinomial , para convertirla en una suma de cuadrados se haría lo siguiente,
En donde
y
, por lo que
Método 2
Si se tiene una expresión de la forma en donde tanto
como
son polinomios, el método de las fracciones parciales la convierte en la suma de otras fracciones en donde el denominador de cada nueva fracción es uno de primer grado o cuadrático elevado a alguna potencia. Para poder utilizarlo se requiere que el grado de
sea menor que al de
, y que
sea factorizable en el producto de polinomios lineales y cuadráticos elevados a varias potencias.
El método dice que para cada factor de del tipo
debe asignarse una suma de
fracciones de la forma
Para cada factor de del tipo
debe asignarse una suma de
fracciones de la forma
Las constantes ,
y
(donde
y
) se sacarán de la siguiente manera. Se deberá igualar la fracción original,
, a la suma de las nuevas fracciones construidas, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales para despejar todas las
y
.
Para manipular el numerador se hace uso de simple algebra. Por ejemplo, si se tiene en el numerador una expresión del tipo podría ser reescrita como
, y si se tuviera una constante
en el numerador que requiriera completarse se podría multiplicar todo por la unidad creada por
, para tener un resultante de la forma
.
Estas formas de trabajar con el numerador y denominador, aunque pudieran parecer obvias, tendrán mucha relevancia al unirse a las propiedades de la transformada y transformada inversa de Laplace, como lo es la linealidad.
Blanchard, P., Devaney, R. L. y Hall, G. R. hablan de una propiedad de la transformada inversa llamada unicidad. Esta propiedad dice que si es función continua con transformada de Laplace
,
será la única función (de ahí lo de “unicidad”) que tendrá por transformada
a
. Por eso se dice “la transformada inversa de
” en ligar de “una transformada inversa de
”, ya que será la única.
3. 1. 3. Linealidad y otras propiedades
La linealidad es una propiedad que se encuentra presente en operaciones como la integración (tanto definida como indefinida) y diferenciación, significando que, mientras existan cada derivada e integral, para cualquier constante y
lo siguiente se cumple:
Al estar definida la transformada de Laplace como una integral
La propiedad de linealidad es inherente a ella.
Esto significa que
Si convergen (existen) ambas integrales resultantes.
Expresado de otra forma, la linealidad de la transformada de Laplace dice que
Al ser la transformada inversa, resultado de las mismas operaciones pero revertidas, tambien es un operador lineal.
Blanchard, P., enfatiza la importancia de esto último, dado que facilitara el determinar la transformada inversa de operaciones a primera vista complicadas por medio de calcular para cada termino linealmente simplificable.
La transformada de Laplace, hablando de sus otras propiedades, tiene una característica que la hace exitosa en su aplicación para resolver ecuaciones diferenciales, y esto se puede ver al aplicarla a derivadas.
La transformada de una función expresable como
supone la existencia de una función
con transformada
, esto es,
La característica de la que se habla se encuentra en la solución de esta transformada, que resulta ser
Para comprobarlo, se utilizará la verificación hecha por Blanchard, P., Devaney, R. L. y Hall, G. R.:
La definición de la transformada de Laplace dice que
Por lo tanto, para comprobar la característica mencionada, se resolverá la transformada para la función dada
Integrando por partes, haciendo el cambio de variable
Y
Se puede calcular y
, obteniendo
Y
Se resuelve la integral por partes agregando los cambios hechos
Observa que el segundo término es muy similar a la definición de la transformada de Laplace, por lo que, se puede reescribir el resultado asi:
O lo que es lo mismo
Asi se prueba la afirmación de que
Esta característica es la que facilita cambiar elementos diferenciales en por operaciones algebraicas, transformando problemas de calculo en problemas de algebra, y permitiendo la realización de muchas operaciones al tener como parte de sus propiedades la linealidad ya mencionada.
Otra propiedad es la de la translación en , que ilustra el impacto en la transformada de multiplicar una
por
. Esta propiedad dice que si
existe en
,
para toda
.
Para comprobarlo se calcula la transformada
Cuatro propiedades más, expuestas por Bronson, R., son las siguientes:
1. Si entonces para cualquier entero positivo
2. Si y el
existe, entonces
3. Si entonces
4. Por último, si es una función periódica con un periodo
, esto es,
entonces
Tal como se ha presentado, la transformada de Laplace y sus propiedades, es importante saber cuándo puede existir. Se han establecido y expuesto por distintos autores las condiciones suficientes de existencia.
3. 1. 4. Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace
Zill establece que las condiciones suficientes para que exista la transformada de Laplace se definen por el siguiente teorema, “si es continua por tramos en el intervalo
y de orden exponencial
para
, entonces
existe para
”.
Tal vez te preguntes a que se refiere cuando se habla de la continuidad por tramos de . Nagle, k., Saff. E. B. y Snider, A. D. lo explican de esta forma: Si
es continua en cada punto de un intervalo finito
pero no lo es en una cantidad finita de puntos donde presenta discontinuidad o saltos, entonces se dice que es una función continua por partes. Ampliando la definición, establecen que la función es continua por partes en
si es continua por partes para cualquier
en
.
Zill, demuestra su teorema de la siguiente manera:
Se tiene la siguiente transformada aplicada sobre que puede partirse en dos tramos
Se sabe que puede ser expresada como una adición de integrales en intervalos donde
tiene continuidad.
Para se tiene lo siguiente,
Esto ocurre para para que la integral converja (exista). Recuerda que
. Si
entonces
, para
valuado en
, daría
, haciendo que la integral diverja (no exista). Si
entonces
, para
valuado en
, daría
en donde
es un numero positivo, resultando en
, haciendo de nuevo que la integral diverja.
De esta forma se prueba que para existe la integral
Y como por definición asi se establece la transformada de Laplace , entonces tambien existe esta.
Al respecto Nagle, K., Saff, E. B., Snider, A. D. presentan su teorema de condiciones para existencia de una forma aún más corta, pero haciendo la demostración de la misma manera, variando solo las letras usadas para las constantes. Dicen que “Si es continua por partes en
y de orden exponencial
, entonces
existe para
”. No hay que dejarse llevar por la extensión de una definición para determinar cual utilizar, se recuerda que, después de todo, muchos de los libros que se están referenciando son traducciones al español de un idioma extranjero, por lo que mientras se encuentren completas y entendibles las formas de expresar un concepto la que sea que se utilice será válido.
3. 1. 5. Transformada de Laplace de funciones básicas
Retomando la definición ya provista
Se inicia con el cálculo de la transformada de una constante.
Se había visto que si
Por tanto para
.
Se generaliza un poco más.
Si se deseara calcular la transformada de Laplace de una constante real, solo se tendría que seguir los mismos pasos.
Esto es, si , en donde
es una constante real
Por tanto para
.
La transformada de una variable se calcularía como sigue.
Si ,
Esta es una integral que puede ser resuelta por partes, obteniendo
Por lo que se sabe, se puede observar que el primer término es igual a 0.
Para saber cómo resolver la indeterminación resultante de multiplicar cero por infinito por medio de la regla de L’Hôpital.
Esto deja únicamente el segundo término.
Por tanto para
.
Seguramente has notado que en este último ejemplo, a manera de abreviar nuestra escritura se ha empezado a escribir solamente como
. Este es un recurso utilizado ampliamente por autores de libros que incluyen la transformada de Laplace para agilizar su escritura y lectura.
De la misma manera, la transformada de una variable elevada al cuadrado se calcularía asi,
Si
Esta es una integral que se resuelve por partes. Una vez resuelta da:
Por tanto para
.
Un último ejemplo de la variable elevada a un exponente entero positivo. Si
,
Esta es otra integral que tambien se resuelve por partes. Al final queda como resultado
Considerando que los otros términos tendrán el mismo fin que los de los cálculos de transformadas previas, al tener o 0 multiplicando a
(haciendo uso de la regla de L’Hopital), entonces
para
.
Se puede detectar cierto comportamiento de la transformada con todos los cálculos anteriores de funciones básicas: Al transformar una constante queda está dividida entre , y al hacerlo con la variable
elevada a un exponente entero positivo queda
Para calcular la transformada de ,
Si ,
O lo que es lo mismo
Resolviendo por partes quedaría
Por tanto para
.
Puedes calcular, tomando como base lo anterior, transformadas de Laplace para distintas funciones.
A continuación, se provee con una tabla basada en la presentada por Nagle, K., Saff, E. B., y Snider, A. D., que incluye las transformadas que ya se ha calculado y otras nuevas:
| | | Condición para |
| 1 | | |
| | |
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| | |
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| | | |
| | |
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| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | Las dictadas por |
Para la última fila de la tabla, recuerda que la transformada de Laplace tiene, al ser una integral, la propiedad de linealidad, por lo que puedes hacer uso de esa característica con las transformadas provistas y las que calcules.
Un ejemplo de la aplicación de la transformada de Laplace para la resolución parcial de ecuaciones diferenciales en problemas de valor inicial (recuerda que para tener la solución completa en los términos deseados hará falta encontrar la transformada inversa) podría ser el siguiente:
Se tiene
En donde han dicho que para el valor de
Retomando el algoritmo visto, observa que la primer parte, que es la de modelar el fenómeno en ecuaciones diferenciales, ha sido cumplida.
Siguiendo con el paso 2 aplica la transformada en ambos lados de la ecuación obteniendo lo siguiente
Aplicando las propiedades ya vistas (como la de linealidad) se tiene que
Se ha dicho que , por lo que sustituyendo
En la tabla localizada antes de este ejemplo se busca, para ahorrar tiempo, la transformada de y observa que es
Utilizando esta transformación en la ecuación, viendo que
Reacomodando un poco los términos para cubrir el paso 3 del algoritmo
Asi, queda que
3. 1. 6. Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos
Al momento de estar trabajando en fenómenos físicos, de forma natural empiezan a surgir funciones continuas por tramos. La llegada de nuevos elementos a un sistema químico o biológico, un apagón, el encendido de un interruptor, la apertura de una puerta que cambia la forma en que se comporta la temperatura de un cuarto o frigorífico son ejemplos de situaciones que provocan discontinuidad en un sistema. Para estas, la transformada de Laplace facilita su tratamiento, que en ocasiones puede ser difícil de analizar sin el uso de esta herramienta.
Para poder ver la forma en que se presentan las transformadas de Laplace de funciones definidas por tramos recuerda la definición de Nagle, K., Saff, E. B. y Snider, A. D. Para que una función sea continua por tramos en un intervalo finito esta debe ser continua en cada punto del intervalo, con excepción de una cantidad finita de puntos donde la función tiene discontinuidad. Esta función es continua por tramos en el intervalo
si es continua por partes para
en
. Para completar, debe existir el limite de
desde el interior de cada tramo hasta cualquier extremo de este.
Un ejemplo grafico de una función continua por tramos es el siguiente:
Siendo la función representada por
Existe la transformada de Laplace de una continua por tramos siempre que crezca mas lento que una exponencial. Nagle, K. profundiza en ello con la siguiente definición: Se dice que un función “
es de orden exponencial
si existen constantes positivas T y M tales que
, para toda
”.
Carmona, I. y Filio, E. sintetizan aún más dejando la definición solo como “ es función de orden exponencial
Existen
tales que:
”.
Ejemplo de ello es . Esta función es de orden exponencial con
y
dado que se cumple la definición al tener que
.
Una función que no sería de orden exponencial es , ya que crece mas rápido que
.
Para explicar cómo resolver este tipo de funciones se pondrá el ejemplo de una función escalón unitario.
Una función escalón unitario tiene la siguiente forma:
En el diagrama el escalo inicia en , haciendo que la función
salte de 0 a 1.
Supón, para generalizar, que no se sabe en donde se encuentra el salto, por lo que se establece que se da en un tiempo desconocido . Nuestra función quedaría entonces modelada asi
La transformada de Laplace, por su definición, seria
O en este caso,
De esta manera, se separa en dos partes su cálculo basándose en la definición de su modelo
Al ver la expresión se detecta que el primer término es igual a 0 debido a que para todo
.
Como para todo
,
Asi, se ha calculado la transformada de Laplace para la función escalón unitario
Si se aplicara la transformada inversa, haciendo uso de definición y de las propiedades, se vería que la función es la transformada de 1, lo cual, no es de sorprender, ya que la función original en el dominio de
indicaba eso para
. La parte de la transformada de Laplace obtenida para la función escalón unitario, que indica que a partir de
es donde
es igual a 1 es debida a la propiedad de traslación en
, y es dada por
.
La propiedad de traslación en Edwards, dice que si la transformada de la función
existe para
se tiene que
Esto genera entonces que la transformada inversa se presente de la siguiente manera
En
De igual forma, al igual que las funciones continuas por tramos y como una extensión de ellas, existen las funciones periódicas, que no son sino funciones que se repiten. Estas se definen tomando en cuenta que es periódica si se encuentra un numero
en el que
, siendo
el periodo de
, y encontrándose como el mínimo valor en que se cumple la igualdad presentada.
Para calcular la transformada de Laplace para este tipo de funciones, Edwards, mencionan que si es funcion periódica con periodo
continua por tramos en
, su transformada existe en
y se determina por
3. 1. 7. Cálculo de la transformada inversa para funciones
El cálculo de la transformada inversa es de suma importancia para tener una solución completa una vez que se ha regresado a expresar el resultado en términos de la incógnita original. Se ha planteado ya un ejemplo de la forma de aplicar la transformada inversa, pero es necesario ver utilizadas las propiedades como la linealidad junto con las soluciones establecidas para que sepas como integrar los conocimientos adquiridos hasta el momento para resolver sistemas de mayor complejidad.
Blanchard, P. presenta el siguiente ejemplo.
Retoma primeramente el último ejercicio del 3.1.5, aquel que se dejó inconcluso por no haber aplicado la transformada inversa para obtener la solución .
Recordando, se tenía que
Y habían dicho que para el valor de
La transformada de Laplace que se obtuvo fue
Como se quiere la solución se aplica la transformada inversa en ambos lados de la ecuación.
Si se hace uso de la propiedad de linealidad se puede separar la expresión asi
Observa que el primer término es la transformada de una función que ya aparece en la tabla provista en el 3.1.5, pero el segundo término tendrá que descomponerlo aún más para que quede expresado como una combinación de transformadas ya conocidas. Un recurso muy utilizado es hacer uso del método de fracciones parciales.
De esta forma
Despejando y
tendrías entonces que
Sustituyendo los valores de las constantes temporales en la expresión
Esta nueva expresión puede reconocerse en cada uno de sus miembros como la transformada de una función ya escrita en nuestra tabla, para ser exactos, de una exponencial.
Entonces
En la tabla se tiene que
Lo que lleva a
La solución del ejercicio con la condición inicial
ya completa seria
Si se deseara construir una tabla para facilitar el cálculo de transformadas inversas se podría basar en aquella que se construyó para el cálculo de transformadas, utilizando las funciones calculadas en para encontrar las de
. Ejemplificando esto se coloca la siguiente tabla, agregando ademas un par de funciones en
adicionales.
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| | 1 |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
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3. 1. 8. Derivación de la transformada
La derivación de la transformada de Laplace encuentra su solución como sigue:
De acuerdo con Carmona & Filio, si se tiene una transformada para una función tal que
Entonces
Para comprobarlo, se hará uso de la definición de la transformada de Laplace.
Se tiene que
Derivando con respecto a ambos lados
Despejando queda
Asi se comprueba el teorema.
Siguiendo los mismos pasos para la segunda y tercera derivadas, se encuentra que existe la siguiente secuencia
Generalizando, se puede decir que la derivada de una transformada puede ser calculada como
La aplicación que se podría encontrar en esto es para facilitar y resolver transformadas por medio de la identificación de formas conocidas.
Por ejemplo, si se observa una función de la forma de la cual se requiere calcular la transformada de Laplace, al ver el termino
precediendo la parte con el coseno se sabe que se puede expresar su transformada como una derivada.
La tabla conformada en el tema 3.1.5 dice que la transformada de es igual a
, por lo que uniendo el concepto de la derivada con la transformada ya conocida para el coseno quedaría
No hay que perder de vista los signos, ya que al ser la primera derivada, dada la generalización hecha, se debe despejar la expresión para que quede como
O
Según lo necesite.
Si en lugar de se hubiera tenido precediendo a la función coseno
se sabría que se puede aplicar una segunda derivada en la transformada, y de haber sido
la tercera.
Es posible que te preguntes si asi como hay una forma de identificar rápidamente expresiones que facilitan el cálculo de una transformada por medio de su derivación, exista algo similar pero haciendo uso de la integración.
3. 1. 9. Integración de la transformada
La integración de la transformada de Laplace se encuentra sujeta a que la función satisfaga las condiciones de existencia, a que el límite cuando
de
exista y a que la transformada de
sea
.
Si se cumple lo anterior, Carmona & Filio puntualizan en su teorema que se puede establecer que
Para comprobarlo, siguen el procedimiento que se presenta a continuación:
Se hará que sea igual a la función que se desea transformar.
Despejando,
Si se utiliza la transformada en los dos lados
Se puede distinguir una propiedad ya conocida del lado izquierdo, que es la correspondiente a la forma en que se ve una derivada de transformada por estar multiplicado por .
Si , se tiene que
Y que
Despejando e integrando
Entonces,
La aplicación que se le puede dar a esta propiedad es muy similar a la que se encontró en la derivación de transformadas: facilita resolverlas por medio de la identificación de formas conocidas.
Por ejemplo, si se observa un función de la forma de la cual se quiere calcular la transformada de Laplace, al ver el termino
como parte factorizable de la función se sabe que se puede expresar su transformada como una integral.
La tabla de transformadas de Bronson, R. dice que la transformada de es igual a
, por lo que uniendo el concepto de la integral con la transformada ya conocida para el seno quedaría que, dado
Para
Una vez que has visto el efecto que tiene la derivación e integración de la transformada de Laplace como parte de sus propiedades, podrás hacer uso de estas herramientas para facilitar su cálculo al tratar de resolver problemas relacionados con fenómenos físicos en donde veas que puede ser utilizada.
3. 1. 10. Aplicaciones de la transformada de Laplace en fenómenos físicos
El uso de la transformada para el cálculo de variables involucradas en fenómenos físicos no es sino la aplicación de todos los conocimientos adquiridos hasta el momento sobre modelos matemáticos expresables por ecuaciones diferenciales que se encuentren una facilidad de resolución al utilizar la transformada de Laplace.
Problemas que pueden ser resueltos suelen incluir de circuitos eléctricos, osciladores armónicos forzados, con forzamiento discontinuo, deflexión de vigas, péndulos, entre otros.
Blanchard, P. presenta el siguiente ejemplo:
Imagina que tienes este circuito RC
En el que es el voltaje del capacitor,
el proporcionado por la fuente,
la capacitancia y
la resistencia.
Supón que el problema radica en que se necesita saber el voltaje existente en el capacitor en cierto momento del tiempo para poder tomar acciones concretas sobre algún elemento presente dentro de un sistema de energías renovables.
Se sabe, por los estudios realizados sobre circuitos eléctricos, que el sistema puede modelarse como
Observa en el diagrama que existe una condición inicial que indica que .
Introduciendo los valores conocidos, se tiene que para las condiciones establecidas
Con
Si se quisiera representar la variación que tiene el voltaje en el capacitor con respecto al tiempo, despejando queda
Resolver haciendo uso de la transformada de Laplace.
Sustituyendo
Se tiene que
Y si se introduce la condición inicial provista
Despejando la variable que se desea conocer y resolviendo la transformada de , dado que ya la conoces,
Usando fracciones parciales para descomponer el primer término, ya que resulta demasiado complejo como para identificar alguna transformada conocida que se le parezca
Despejando y obteniendo los valores de las constantes temporales y
para sustituir, posteriormente, en la expresión original, queda
Regresando para incorporar la sustitución que se obtiene después de aplicar fracciones parciales
Utilizando la transformada inversa y la propiedad de linealidad, ya que no requiere obtener la solución sino
, tienes
Que resultan ser expresiones de forma conocida, ya que son transformadas de funciones para las que ya las has calculado.
En donde
Queda entonces
De esta forma se ha encontrado una solución al problema de saber que voltaje tendrá el capacitor durante cierto momento en el tiempo, facilitando de esta manera tomar decisiones respecto del sistema de energías renovables.
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