Unidad 1. Evidencia del aprendizaje: Vectores

Introducción.

En el presente documento integraremos las actividades 2 y 3 de la unidad 1 correspondientes a la materia de álgebra lineal, los cuales ya deben estar previamente calificados y corregidos por nuestro maestro.

Posteriormente realizaremos un formulario de diversas operaciones que se realizan con los vectores.

Desarrollo.

Actividad 2.

Introducción.

En esta actividad se realizarán operaciones con vectores, para comprender su aplicación en la resolución de problemas de diversas áreas mediante el uso del álgebra vectorial.

Esto nos permite identificar cuáles son los componente que tiene un vector, a realizar diversas operaciones con los vectores y practicar la resolución de las propiedades punto y cruz.

Desarrollo:

1.   Lee con atención lo que se te solicita en cada punto y resuelve los ejercicios.

I.              Encuentra la suma de los siguientes vectores:

a)   u = (5, -3), v = (4, 2)

b)   u = (1, 7), v = (2, -2)

 

 

c)   u = (-11, -6), v = (13, 9)

II.             

III.           Encuentra la magnitud del vector resultante de la suma de los vectores

anteriores.

 

IV.           

V.            Representa la suma de vectores en el plano cartesiano.

Puedes realizar la representación utilizando las herramientas de dibujo de Word o el programa que consideres, sin embargo, deberás incluir las representaciones en el documento que envíes.

 

VI.          Encuentra la resta de los siguientes vectores:

·         u = (1, 1, 2), v = (0, 2, 1)

·         u = (6, 0, 2), v = (3, 5, 1)

·         u = (6, 1) v = (7, -1)

VII.         Representa la resta de vectores en el plano cartesiano.

En las representaciones de la suma y resta de vectores en el plano cartesiano incluye los nombres de los componentes de un vector.

VIII.         

IX.          Calcula los vectores unitarios, de cada uno de los vectores que se te presentan a continuación.

·         u = (5,2)

·         v = (6,4)

 

·         w = (7,-2)

·         u = (-10,8)

 

·         v = (4,4)

·         w =

·         w =

·      w =

·      w =

 

X.            Determina si los siguientes puntos son extremos de vectores iguales, los puntos iniciales de los vectores son M y P, los puntos finales de los mismos son N y Q respectivamente.

·          M = (2, 4), N = (0, 1); P = (-9, -18) y Q = (-11, -21)

·         M = (- 2, - 6), N = (7, 11); P = (-37, 19) y Q = (-28, 36)

·         M = (9, 2), N = (4, 6); P = (-11, -11) y Q = (5, -4)

XI.          Elabora un documento en formato PDF con la evidencia del trabajo elaborado en la actividad 2 que incluya:

·         Portada: descripción que contenga como mínimo tu nombre, nombre del docente en línea, título de la actividad y fecha de entrega.

XII.         Introducción: descripción general de la actividad y del tema a tratar con una extensión de máximo media cuartilla.

·         Desarrollo: ejercicios, operaciones y gráficas.

·         Conclusión: una reflexión breve y concisa de la actividad.

·         Bibliografía en formato APA.

Conclusión.

La rama de los vectores en el álgebra lineal es muy extensa, y juega un papel fundamental en diversas especialidades tales como la física, biología y tecnología entre muchas otras.

Por ejemplo, en la ingeniería ambiental pueden ser usados para identificar en un plano cartesiano los vectores de un espacio terrestre el cual se esté estudiando para ver los niveles de contaminación que existen.

También se pueden identificar la forma de circulación y velocidad del agua en cierto lugar según el tipo de tierra que haya.

Esos son solo unos de muchos ejemplos que se pueden especificar sobre el uso de los vectores.

Referencias

(s.f.). Obtenido de https://miprofe.com/suma-y-resta-de-vectores/

Desconocido. (s.f.). Vitutor. Obtenido de https://www.vitutor.com/geo/vec/a_5.html

México, U. A. (2018). Algebra Lineal. México. Obtenido de https://documentcloud.adobe.com/link/track?uri=urn%3Aaaid%3Ascds%3AUS%3A718c174d-05a9-4b5c-a541-ad2460de1a0a

Mi profe. (s.f.). Obtenido de https://miprofe.com/vectores-iguales/

Universidad Tecnológica Nacional. . (s.f.). Obtenido de Facultad Regional Avellaneda: http://www.fra.utn.edu.ar/catedras/algebra/lecturas/1_Vectores.pdf

Actividad 3.

Introducción:

En esta actividad, tomando en cuenta los conocimientos que hasta el momento has aprendido, se proponen ejercicios sobre producto escalar, condición de perpendicularidad y producto cruz, recuerda que cada conocimiento aporta para la resolución del problema prototípico planteado de la unidad.

Desarrollo:

1.       Lee con atención lo que se te solicita en cada punto y resuelve los ejercicios.

I.                     Encuentra el ángulo que existe entre los siguientes pares de vectores.

a)       u = 2i – 4j, v = 3i + 2j

b)      u = 6i – 11j, v = 11i + 9j

c)       u = i + j, v = – 5i + 7j

 

d)      u = 5i – 4j, v = 3i + 4j

e)      u = 25i + 45j, v = 5i + 9j

 

f)        u = -13i -10j, v = 13i – 10j

II.                   Establece si los siguientes pares de vectores son o no perpendiculares entre sí.

a)       u = (3,5), v = (-5, 3)

b)      u = (8, -2), v = (-1, 4)

 

 

c)       u = (0,4), v = (2, 0)

d)      u = (6, 9), v = (2, -3)

f)        u = (5, 0), v= (-5, 0)

 

g)       u = (0, 11), v = (-3, 0)

 

 

III.                 Calcula el producto cruz de los siguientes vectores.

a)       u = i + j – k, v = 2i – 3j + 5k

b)      u = 3i – 4j + 5k, v = 6j + k – 5k

c)       u = 11i + 15k, v = 2i + 2j + 2 k

 

d)      u = j – 5k + i, v = 3k + 7i – 4j

e)      v = 2j + 5k – 4i, v = 100i + 200j + 300k

f)        u = 0.1i – 0.7j + 0.4k, v = 0.09i + 0.02j – 0.4k

Conclusión.

Esta actividad me permitió reafirmar mis conocimientos sobre los vectores, aprendí a discernir diferentes problemáticas y ordenamiento de vectores.

Aunque en ocasiones necesite apoyo por parte de mi maestra con ciertas interrogantes que se me presentaron durante los ejercicios, en cuanto logre despejar mis dudas, resolví con facilidad los ejercicios.

Referencias

Ditutor. (s.f.). Obtenido de https://www.ditutor.com/vectores/vectores_ortogonales.html

México, U. A. (2018). Algebra Lineal. México. Obtenido de https://documentcloud.adobe.com/link/track?uri=urn%3Aaaid%3Ascds%3AUS%3A718c174d-05a9-4b5c-a541-ad2460de1a0a

Vitutor. (s.f.). Obtenido de https://www.vitutor.com/geo/vec/b_7.html

Vitutor. (s.f.). Obtenido de https://www.vitutor.com/analitica/vectores/producto_vectorial.html

Elabora un formulario en el que incluyan cada uno de los siguientes puntos:

1.    Fórmula del producto de un vector por el vector y para el producto punto y cruz.

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

 

Fórmula del producto punto y cruz.

Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores v y w el vector. Cuya longitud equivale al área del paralelogramo construido en vectores v y w.

 Para obtener el producto vectorial entre u y v:

Se colocan las componentes de ambos vectores como elementos de una matriz.

Las componentes del vector resultante: obtén una submatriz que contenga todas las componentes de la matriz original excepto la columna con la componente a calcular, es decir: Sí deseo la componente en x, mi submatriz contendrá las columnas de y y z. Sí deseo la componente en y, mi submatriz contendrá las columnas de x y z. Sí deseo la componente en z, mi submatriz contendrá las columnas de x y y.

Calcular la determinante de cada submatriz obtenida en el paso anterior.

El resultado será un vector en R³.

producto cruz

 

2.   La ley conmutativa del producto escalar.

Dados dos vectores a y b, a • b = b • a

DEMOSTRACIÓN

a • b = |a||b|cos α = |b||a|cos α = a • b

 

3.   La ley distributiva del producto escalar y producto cruz.

Ley distributiva del producto escalar.

Siendo u, v y w tres vectores cualesquiera, se verifica:

u· ( v + w )  =  u·v + u·w

Ley distributiva del producto cruz.

4.    Muestra la fórmula de la propiedad anti conmutativa del producto vectorial.

5.    Presenta la fórmula del triple producto escalar de tres vectores.

El producto escalar triple es útil cuando se desea definir multiplicaciones entre tres vectores A = (A_x, A_y, A_z), B = (B_x, B_y, B_z) y C = (C_x, C_y, C_z). El producto mixto se denota como [A, B, C] y está definido como:

[A, B, C] = A · (B × C)

El resultado siempre es una cantidad escalar.

Ahora, como A, B y C son vectores tridimensionales, entonces, |A · (B × C)| es igual al volumen del paralelepípedo definido por A, B y C.

Conclusión.

Este documento sirvió para realizar una compilación de diversas fórmulas utilizadas en las operaciones con vectores. También me ayudo a investigar sobre temas que aún no había visto como la anticonmutativa. Y corregir los ejercicios hechos con anterioridad.

Referencias

Ditutor. (s.f.). Obtenido de https://www.ditutor.com/vectores/vectores_ortogonales.html

México, U. A. (2018). Algebra Lineal. México. Obtenido de https://documentcloud.adobe.com/link/track?uri=urn%3Aaaid%3Ascds%3AUS%3A718c174d-05a9-4b5c-a541-ad2460de1a0a

Vitutor. (s.f.). Obtenido de https://www.vitutor.com/geo/vec/b_7.html

Vitutor. (s.f.). Obtenido de https://www.vitutor.com/analitica/vectores/producto_vectorial.html