Unidad 2. Actividad 2. Reconocimiento de modelos de segundo orden

Introducción

 

Las ecuaciones en su mayor parte a la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes. Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc.

Método de variación de parámetros. Es conocido como método de coeficientes indeterminados la solución de ecuación homogénea.

Planteamiento del problema

Un ecosistema, sobre una población no influyen factores que modifiquen su crecimiento, partiendo de 100 individuos, se llega el primer año a 110 y que, cada año se duplica el crecimiento del año anterior y se añaden 10 individuos de fuera. Para determinar la ecuación general de la evolución de efectivos.

El problema a estudiar es:

 yt+2 − yt+1 = 2(yt+1 − yt) + 10, y0 = 100, y1 = 110 .

Tenemos que resolver la ecuación en diferencias lineal de segundo grado

 yt+2 − 3yt+1 + 2yt = 10

Con las condiciones iníciales y₀ = 100 y y₁ = 110. Empezamos encontrando las raíces de la ecuación característica

 λ ² − 3λ + 2 = 0 ⇒λ₁ = 1, λ₂ = 2 .

La solución general de la ecuación homogénea es: y h t = k1 + k2 2 t .

Para poder resolver la ecuación completa utilizamos el método de variación de las constantes. Teniendo en cuenta (3.14), deducimos

 La primera ley de recurrencia se obtiene

K₁(1) = k₁(0) − 10

K₁(2) = k₁(1) − 10 = k₁(0) − 2 × 10

K₁(t) = k₁(0) − 10t

La segunda de las ecuaciones

k2(1) = k₂(0) + 10/2

k₂(2) = k2(1) + 10/2 2 = k₂(0) + 10/2 + 10/2²

k₂(t) = k2(0) + 10/2 + 10/2 2 + 10/2³+ · · · + 10/2^t =

 = k₂(0) + 10(1/2 + 1/2²+ 1/2 3 + · · · + 1/2 t

= k₂(0) + 10(1 − 1/2^t ).

La solución general de la ecuación completa es  y_t = k₁(0) − 10 × t + [ k2(0) + 10(1 − 1/2^t ) ] 2 t

Las constantes k₁(0) y k₂(0) pueden encontrarse con y0 = 100 y y1 = 110, 100 = k1(0) + k2(0), 110 = k1(0) − 10 + (k2(0) + 5) 2

Solución k₁(0) = 90, k2(0) = 10. La ecuación de los efectivos de la población es: y_t = 80 − 10 t + 10 × 2^t+1, t = 0, 1, 2,

 

Bibliografía

modelos basados en ecuaciones. (s.f.). Recuperado el 19 de febrero de 2021, de http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos_empresa/archivos/archivos%20pdf/teoria/teoria%20discreto/teoria%20discreto%20tema3.pdf

Fernández Pérez C., Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones Lineales, Ediciones Pirámide, S.A., Madrid 1992.

Ulpgc. (s.f.). Recuperado el 19 de febrero de 2021, de https://www2.ulpgc.es/hege/almacen/download/32/32540/ecuacionesdiferenciales.pdf