Unidad 2. Actividad 4. Modelo y solución de sistemas de segundo orden

Introducción

Los sistemas de segundo orden, tal y como su nombre indica, se pueden describir mediante una ecuación diferencial normalizada de segundo orden del tipo: Donde Y(t) y X(t) son la salida y la entrada del sistema respectivamente. Existen sistemas con dinámicas de segundo orden “puras” o formadas por la combinación de dos sistemas de primer orden en serie producto de dos funciones de transferencia de primer orden.

Planteamiento del problema

Un ecosistema, sobre una población no influyen factores que modifiquen su crecimiento, partiendo de 100 individuos, se llega el primer año a 110 y que, cada año se duplica el crecimiento del año anterior y se añaden 10 individuos de fuera. Para determinar la ecuación general de la evolución de efectivos.

El problema a estudiar es:

 yt+2 − yt+1 = 2(yt+1 − yt) + 10, y0 = 100, y1 = 110 .

Tenemos que resolver la ecuación en diferencias lineal de segundo grado

 yt+2 − 3yt+1 + 2yt = 10

Con las condiciones iníciales y₀ = 100 y y₁ = 110. Empezamos encontrando las raíces de la ecuación característica

 λ ² − 3λ + 2 = 0 ⇒λ₁ = 1, λ₂ = 2 .

La solución general de la ecuación homogénea es: y h t = k1 + k2 2 t .

Para poder resolver la ecuación completa utilizamos el método de variación de las constantes. Teniendo en cuenta (3.14), deducimos

 La primera ley de recurrencia se obtiene

K₁(1) = k₁(0) − 10

K₁(2) = k₁(1) − 10 = k₁(0) − 2 × 10

K₁(t) = k₁(0) − 10t

La segunda de las ecuaciones

k2(1) = k₂(0) + 10/2

k₂(2) = k2(1) + 10/2 2 = k₂(0) + 10/2 + 10/2²

k₂(t) = k2(0) + 10/2 + 10/2 2 + 10/2³+ · · · + 10/2^t =

 = k₂(0) + 10(1/2 + 1/2²+ 1/2 3 + · · · + 1/2 t

= k₂(0) + 10(1 − 1/2^t ).

La solución general de la ecuación completa es  y_t = k₁(0) − 10 × t + [ k2(0) + 10(1 − 1/2^t ) ] 2 t

Las constantes k₁(0) y k₂(0) pueden encontrarse con y0 = 100 y y1 = 110, 100 = k1(0) + k2(0), 110 = k1(0) − 10 + (k2(0) + 5) 2

Solución k₁(0) = 90, k2(0) = 10. La ecuación de los efectivos de la población es: y_t = 80 − 10 t + 10 × 2^t+1, t = 0, 1, 2,

Podría ser e si el número de individuos es elevado, entonces la tasa de crecimiento decrece, además si la población es demasiado pequeña esta tasa también decrece, sean y(t) la población en el tiempo t, M, y N.

Necesitamos un modelo y 0 (t) = g(y) que tenga en cuenta los comentarios anteriores.

Observemos que g(y) es negativa si y > M, ya que la población decrece cuando aumenta la tasa de crecimiento. También g(y) es negativa cuando y < N, porque la población decrece cuando no hay incremento. Por el contrario, g(y) es positiva en N < y < M y g(0) = 0.

Y' (t) = ay(t) (1 −y(t)/M)

Multiplicando el segundo término por la expresión y(t)/N − 1. En consecuencia.

Y' (t) =ay(t)

Podemos resolver de forma exacta la ecuación diferencial ya que es de variables separables, en lo que realmente estamos interesados es en saber cómo se comportan las soluciones, y para ello el método más conveniente de análisis es el cualitativo.

Conclusión

Para encontrar la solución general de una ecuación lineal de segundo orden nos fijamos en el término independiente q(t), y según sea, el caso más usuales que suelen presentarse son: Si q(t) = t , entonces para encontrar la solución de la ecuación completa probamos con la solución particular q(t)de grado n, tomaremos un grado n+1, si además tiene grado de multiplicidad γ, de grado n + γ. Si q t.

 

Bibliografía

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