Unidad 1. 1. Integral definida

En algunas ocasiones nos hemos encontrado en la situación de tener que calcular el área de alguna región de forma irregular, como ejemplo, calcular el área de un terreno de forma irregular para saber el valor monetario en función del precio por metro cuadrado.

En esta sección veremos el desarrollo para llegar al concepto de integral definida. Veremos también algunas propiedades, también empezaras a evaluar algunas integrales sencillas mediante las sumas de Riemann.

1. 1. 1. Área de una región.

Algunos de nosotros tenemos la idea intuitiva de lo que es área. Sabemos que es fácil calcular las áreas de ciertas figuras simplemente con saber la forma y su fórmula. Nos viene a la mente que el área limitada por un cuadrado es la multiplicación de su lado por lado ; de un rectángulo es lado por su altura; de un triángulo es la multiplicación de su base por su altura . Así sucesivamente podemos citar muchas figuras con sus respectivas fórmulas para calcular sus áreas.

 

El área, entonces, es la región limitada por ciertas fronteras, como puede ser líneas rectas, como el caso del cuadrado, o bien, por líneas curvas, como el caso del circulo.

Ahora nos enfrentamos a calcular el área de una figura que tiene forma irregular. Pensemos en un terreno. Por lo general, algunos terrenos no tienen una forma muy bien definida, veamos el siguiente ejemplo:

Suponiendo que se conocen los lados del terreno, la pregunta es: ¿Cuál es el área? La solución es sencilla: únicamente hay que dividirlo en triángulos, calcular el área de cada triángulo y sumar las áreas de todos los triángulos para encontrar el área total del terreno.

Así que el área de este terreno es

Veamos ahora una figura un poco más compleja ¿Cómo se hallaría para la siguiente figura?

La respuesta es, inscribir repetidamente el área de una figura geométrica cuya área es conocida, para ello escogemos el cuadrado. El área de cada cuadrado representa una unidad de área. La figura quedaría así:

El área aproximada de la figura es de 33 unidades de área. Podríamos ser más precisos y para ello tendremos que hacer más pequeños nuestros cuadrados.

Hace aproximadamente 2,500 años, los griegos sabían cómo hallar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos. También hallaron la forma de encontrar el área de una figura curva; lo que hicieron fue inscribir polígonos en la figura y hacer que el número de lados aumentará. Usaban el método conocido como de agotamiento o exhaución

1. 1. 2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales.

En este subtema obtendremos el área bajo una curva por aproximación de rectángulos, como se muestra el objeto de arriba. Posteriormente se tomará el límite de estos rectángulos. El procedimiento es el siguiente:

Consideremos el siguiente desarrollo: sea la función . Hallaremos el área bajo la curva en la región comprendida entre 0 y 1 del eje .

Podemos hallar el área aproximada, inscribiendo rectángulos debajo de la curva descrita por  en la región comprendida entre 0 y 1. El área de la región está dada por la suma de todos los rectángulos inscritos en la región S.

Dividamos el segmento [0,1] en 10 partes iguales, esto significa que la base de cada rectángulo es igual a . La altura de cada rectángulo es tomada del lado derecho de cada rectángulo, es decir, las alturas los rectángulos son valores de la función  en los puntos extremos de la derecha.

Considerando de la imagen que, para cada número X de las abscisas, existe un valor para Y, se cumple la función .

La altura para el primer rectángulo es

Para el segundo

Para el tercero

De manera análoga se calcula las demás alturas para cada uno de los rectángulos. Así que podemos escribir las alturas de los rectángulos de la siguiente manera:

La suma de las áreas de todos los rectángulos es la suma aproximada debajo de la curva comprendida entre 0 y 1:

Realizamos la suma de todas las fracciones:

Está es el área aproximada de la región S; sin embargo, nuestros rectángulos sobresalen por encima de la gráfica, lo cual quieres decir que el área que hemos calculado es mayor que el área A de la región S.

Para tener una mejor estimación del área A bajo la curva, lo que tendremos que hacer, es considerar un incremento de rectángulos, y así las bases de los rectángulos serán cada vez más pequeñas, al calcular la suma de rectángulos infinitesimales, obtendremos mejores estimaciones para el área de la región S.

Si incrementamos infinitamente el número de rectángulos n, de tal forma que el ancho de cada uno de ellos se hiciera muy pequeño, veremos la suma de todos los rectángulos superiores se aproxima al área A bajo la curva.

 

De manera similar al desarrollo anterior,  es la suma de n rectángulos de la figura de arriba, aquí el ancho de cada rectángulo vale  y las alturas las obtenemos al evaluar los puntos  hasta  en la función , entonces las alturas son:  así sucesivamente hasta .

El área total está dada por la suma de las áreas de todos los rectángulos

Factorizamos

La suma de cuadrados tiene una expresión general dada por:

Sustituimos la expresión en nuestro desarrollo anterior.

Ahora le aplicamos el límite cuando el número de rectángulos tiende a ser infinito  debajo de la curva.

Reacomodamos algunos términos:

Recordemos que . Evaluamos los límites,

Por lo tanto, el área de la región S es:

Con la misma metodología se puede calcular el área de la región S usando rectángulos cuyas alturas fueran los valores de f en los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. Llegaríamos al mismo resultado cuando aplicamos el límite de infinitos rectángulos debajo de la función.

Esto quiere decir que no importa donde se tome la altura de los rectángulos; ya sea que pongamos rectángulos superiores o rectángulos inferiores, siempre vamos a llegar al mismo resultado, los límites son iguales.

Ahora estamos preparados para analizar una región más general. Hallemos el área de la curva siguiente. Tomemos la región mostrada en la figura de tal modo que subdividimos el intervalo [a, b] en n rectángulos de anchos iguales.

El ancho de intervalo [a, b] es b-a; por lo tanto, el ancho para cada rectángulo es:

Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son:

Para un i-ésimo rectángulo que tiene un ancho  y una altura , que es el valor de f en los puntos extremos de la derecha, tiene un área igual a . Observa detenidamente la figura de abajo.

Nota: cuando decimos “i-ésimo” hacemos referencia a un elemento que se encuentra en la posición “i”, así que, si estamos hablando de rectángulos nos referimos a la posición i que tiene un rectángulo sobre el eje x.

Entonces, el área bajo la curva delimitada por el intervalo [a, b] es aproximadamente la suma de las áreas de todos los rectángulos.

Podemos asignar valores para n. Recuerda que n es el número de rectángulos que divide el intervalo [a, b].

Te aseguramos que está aproximación va a mejorar a medida que se incrementa la cantidad de rectángulos bajo la curva, es decir, cuando .

Una vez analizado el caso general para un área aproximada, podemos definir el área A de la región S.

Definición: el área A de una región S que se encuentra debajo de una función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación.

Ojo, para que el límite exista se está suponiendo una función f continua.

Frecuentemente se usa la notación sigma para escribir de manera compacta las sumas que contienen muchos términos. Por ejemplo:

Nota: en la notación sigma  se identifican las siguientes partes i=m, indica que debemos comenzar i=m, n indica terminar con el elemento n, y el símbolo Σ indica sumar.

Por lo tanto, la definición anterior la podemos escribir de la siguiente manera:

Se tiene el mismo valor de área cuando se escogen los puntos extremos a la izquierda:

Si en lugar de usar los puntos extremos izquierdos o derechos, se toma la altura del i-ésimo rectángulo como el valor de f en cualquier número  en el i-ésimo subintervalo . Los números  reciben el nombre de puntos muestra.

La figura de abajo muestra los rectángulos de aproximación cuando se eligen puntos muestras diferentes a los puntos extremos.

La expresión más general para el área bajo la gráfica de la función f es:

1. 1. 3. Integral definida.

Anteriormente habíamos obtenido un límite de la forma  cuando se calcula un área bajo una curva. Hablando más general, este tipo de límite se presenta en varias situaciones, incluso cuando la función f no es positiva, por tal motivo, a este tipo de límite se le da un nombre y aúna notación especial.

Definición de integral definida.  Si f es una función continúa definida para , dividimos el intervalo  en n subintervalos de igual ancho . Denotamos con  los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los puntos muestra  en estos subintervalos de modo que  se encuentre en el i-ésimo subintervalos . Entonces la integral definida de f, desde a hasta b es:

Nota: en una integral se identifican las partes:

El signo se llama signo de integral y corresponde a una S alargada, debido a que una integral es un límite de sumas. Las letras a y b son los límites de integración, a es el límite inferior y b es el límite superior de la integral.

A  se la llama integrando.

 no tiene significado, sin embargo, denota con respecto a que variable se está integrando y de cálculo diferencial lo identificamos como un diferencial.

Al procedimiento para calcular una integral se llama integración.

1. 1. 4. Suma de Riemann

A la suma que está mostrada en la parte derecha de la definición de integral definida:

Se le conoce con el nombre de suma de Riemann.

Está sumatoria representa la suma de áreas de rectángulos de aproximación. La gráfica muestra la representación geométrica de la suma de Riemann de la función .

Con este ejemplo podemos ver que la suma de Riemann es:

Si  es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los rectángulos de aproximación cuyas áreas son positivas. Por otra parte, los términos con signo negativo son inversos aditivos de áreas y surgen de las particiones o rectángulos que quedan debajo del eje x, ya que en ese tramo

De la relación de la definición de la integral definida y sumas de Riemann tenemos que:

·     Si , la integral definida  es el área bajo la curva , desde a hasta b.

·     Si  adquiere tanto valores positivos como negativos la integral definida  es la diferencia de áreas:

Donde representa el área de la región por arriba del eje x y debajo de la gráfica ; y  representa la región debajo del eje x y arriba de la gráfica .

Ejemplo:

Expresa  como una integral en el intervalo [0, π].

Solución:

De acuerdo con la definición de integral definida, el límite siempre existe y da el mismo valor. No importa cómo se elijan los puntos muestra , podemos reemplazar  tomando como puntos muestra todos los extremos derechos, por lo tanto, el límite lo podemos escribir como:

Comparando el límite de la función dada  en la definición de integral definida  con la integral de nuestra función, identificamos que:

Cuando:

En consideración a lo anterior, podemos escribir la solución de la siguiente manera:

1. 1. 5. Evaluación de integrales.

Antes de continuar con el procedimiento para calcular integrales definidas a través de sumas, es necesario que conozcas las siguientes identidades y reglas sencillas para trabajar con sumatorias:

Consideremos el siguiente ejemplo.

a)  Evaluar la suma de Riemann para , en el intervalo [3, 5]

b)  Evalúe

Solución:

a)  está dado por:

Sustituimos a y b

Para la i-ésima partición o rectángulo.

La suma de Riemann está dada por:

Recuerde que la función  es , así que sustituimos  y .

Sacamos las sumas de los términos que no dependan de i y sustituimos el valor de la sumatoria correspondiente, según las fórmulas que dimos al principio de la sección.

Finalmente tenemos el n-ésimo término de la suma de Riemann.

b) Aplicando el concepto de integral definida se tiene el área bajo la curva entre los límites 3 y 5 del eje x.

1. 1. 6. Regla del punto medio.

Anteriormente el punto medio de un rectángulo más pequeño es , cuyo valor era arbitrario, podía estar entre  y . Sin embargo, como cualquier suma de Riemann es una aproximación a una integral, es conveniente usar medios denotados por . Tenemos la regla que dice.

Regla de punto medio

, donde

y  que es el punto medio de intervalo o la base del rectángulo

Ejemplo:

Calcular por aproximación la integral  usando la regla del punto medio con n=5.

Solución:

Si se tiene un intervalo [1, 2] y se toma n=5, se tienen 5 subintervalos que son: 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.0

Los puntos medios son , así sucesivamente para los demás: 1.3, 1.5, 1.7 y 1.9.

La integral aproximada es:

1. 1. 7. Propiedades de la integral definida.

En esta sección encontraras las propiedades de la integral, las cuales son de gran utilidad para evaluar integrales. Considere que la funciones f y g son continuas.

Si   se cumple.

1.

Si

2.

Propiedades básicas de las integrales.

3. , c es una constante.

La integral de una suma es la suma de las integrales.

4.

5. , c es una constante

6.

Si  y  se cumple la propiedad

7.

Propiedades de orden de la integral

Las siguientes propiedades son válidas para

8. Si  para , entonces

9. Si  para , entonces

10. Si  para , entonces

Está última propiedad está ilustrada en la siguiente figura. afirma que el área bajo la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo de altura m y menor que el área de rectángulo de altura M.