Las ecuaciones diferenciales, sirven para modelar fenómenos físicos cambiantes en el tiempo, facilitando de esta manera el establecer elementos para su medición, entendimiento y control dentro de sistemas de energías renovables.
En este capítulo revisaras la manera en que se hace uso de ecuaciones diferenciales de orden superior, especialmente las de segundo orden. Para lograrlo, identifica primero la forma general para las de orden y luego, a partir de ella, lo harás de manera particular para las de orden dos.
Las ecuaciones diferenciales de orden lineales tienen la siguiente forma:
Esta forma será utilizada a lo largo de toda la unidad, por lo que se hará referencia a ella, en algunas ocasiones, tan solo mencionando su número. (1)
2. 1. 1. Definición y elementos de una ecuación diferencial de segundo orden
Si se toma la forma de las ecuaciones diferenciales lineales de orden y haces
, para identificar los elementos de las de segundo orden, se tiene
En esta forma puedes observar como elementos de la ecuación diferencial de segundo orden las funciones y
, acompañadas de las diferenciales de 2º y 1er orden para
y
respectivamente, complementando la forma la variable dependiente
, acompañando a la función
. Del otro lado de la ecuación se tiene una función
.
Por ejemplo la ecuación
En esta se puede apreciar que la es 2, por lo que sabes que es una ecuación de segundo orden. Las funciones
y
se encuentran definidas de la siguiente manera:
es
, y tienes, para finalizar que
y
.
2. 1. 2. Problemas de valor inicial
Los problemas con valor inicial para las ecuaciones diferenciales de segundo orden son similares a aquellos vistos en las de primer orden. Para un problema encontrado se observan ciertas condiciones iniciales que permiten obtener la solución, una vez clasificada la ecuación diferencial para utilizar la solución general de su tipo y encontradas las constantes que la resuelven.
Se retoma la ecuación (1) vista con anterioridad
Cornejo menciona que esta ecuación podría estar sujeta a ciertas condiciones iniciales, por ejemplo
(2)
Siendo constantes arbitrarias, y ponen un ejemplo con la siguiente ecuación diferencial de segundo orden.
Sea
En donde se conocen los valores iniciales para y
La solución general de la ecuación anterior es
Si sustituyes las condiciones iniciales en la solución general se tiene
O lo que es lo mismo
Despejando
Con eso se obtiene la primera constante .
Para la segunda, se deriva la solución general, resultando
Sustituyendo los valores iniciales
Como ya se tiene lo sustituyes
Recordando la solución general dada en un inicio
Sustituyendo las constantes obtenidas se llega a la solución de la ecuación del ejemplo
Para garantizar la existencia y unicidad de una solución para un problema de valores iniciales para ecuaciones de orden (1) que está sujeta a las condiciones en (2) se tiene el siguiente teorema:
Según Cornejo, si y
son continuas en un intervalo
y
para toda
en el intervalo, si
es cualquier punto en el, entonces existe una única solución
en el intervalo del problema de valores iniciales dado por
