Para poder resolver las ecuaciones diferenciales se debe ser capaz de identificarlas y clasificarlas, ya que dependiendo de ello se podrá seleccionar la mejor forma de hacerlo.
Una de las primeras formas de hacerlo es por su linealidad: las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse en lineales o no lineales.
Una ecuación diferencial lineal puede reconocerse por la forma de la ecuación (1):
Sujeta a las condiciones iniciales (2)
Siendo constantes arbitrarias.
Para obtener la forma general de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden se hace .
Con y
Reescribiendo la ecuación para facilitar su lectura, se tiene
Y si se divide todo entre
Como y
son funciones de
la ecuación anterior puede ser reescrita de nuevo para tener una forma simplificada.
(3)
Esta es la forma general para las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales.
| a) | |
| b) | |
| c) | |
El último ejemplo, “c)”, corresponde tambien a una ecuación diferencial lineal, ya que puede trabajarse para ser mostrada en la forma general (3):
De esta manera se observa de una forma más clara su pertenencia a la clasificación mencionada.
Una ecuación diferencial no lineal puede identificarse por no poder presentarse en la forma (3).
A continuación se encuentran ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales:
| a) | |
| b) | |
| c) | |
| d) | |
Se le conoce como solución de una ecuación diferencial (independientemente de que sea lineal o no lineal) a la función si se encuentra definida y es derivable
cantidad de veces en un intervalo, tal que al ser sustituida en la ecuación con todo y sus derivadas sea obtenida una identidad. Para ejemplificar lo anterior, se presenta lo siguiente:
Se tiene la ecuación diferencial
De la cual son soluciones para toda las siguientes funciones
| 1) | |
| 2) | |
Comprobación de solución 1
Derivando para obtener
y poder sustituir en la ecuación original
Si se sustituye se observa que se cumple la igualdad y que efectivamente es solución de la ecuación
Comprobación de solución 2
Derivando para obtener
y poder sustituir en la ecuación original
Si se sustituye se observa que se cumple la igualdad y que efectivamente es solución de la ecuación
De esta manera puedes observar que ambas funciones son realmente soluciones de la ecuación.
Una vez identificado si las ecuaciones son lineales o no lineales pueden tambien clasificarse por su homogeneidad.
2. 2. 1. Definición de la homogeneidad y no homogeneidad en ecuaciones diferenciales
Retomando la forma (1) de las ecuaciones diferenciales de orden
Si es igual a cero, se dice que la ecuación diferencial lineal es homogénea. Caso contrario, si
es diferente de cero, la ecuación diferencial lineal es no homogénea.
Para las ecuaciones diferenciales de segundo orden tendrías entonces que una homogénea presentaría la forma
Y una no homogénea
En donde .
Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas:
| a) | |
| b) | |
| c) | |
Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas:
| a) | |
| b) | |
| c) | |
El siguiente es un ejemplo de una ecuación diferencial no lineal:
Esto se debe a que no es función únicamente de
, al encontrar en ella a la variable dependiente
.
Otra característica importante de identificar es la dependencia o independencia lineal entre funciones, ya que permitirá tener un mayor conocimiento de la forma de resolver ecuaciones diferenciales de orden superior que las contengan.
2. 2. 2. Dependencia e independencia lineal
De acuerdo a Carmona & Filio se dice que dos funciones tienen dependencia lineal si son proporcionales en un intervalo abierto en el que se encuentran definidas.
En otras palabras, si se tiene una función y una función
se puede decir que son linealmente dependientes si
o
en donde las constantes de proporcionalidad
son diferente de cero.
Una consecuencia es que si se divide entre
el resultado será una constante para aquellas funciones con dependencia lineal.
Los siguientes ejemplos de funciones linealmente dependientes:
A) y
, ya que si se divide
da 3, que es una constante diferente de cero.
B) y
, porque si se divide
resulta 5, que es una constante diferente de cero.
Caso contrario, y
tienen independencia lineal en el intervalo si no son proporcionales en este. Si al dividir
entre
el resultado depende de
, entonces las funciones tienen independencia lineal.
Los siguientes son ejemplos de funciones linealmente independientes:
A) y
. Si se divide
resulta
, que es un resultado dependiente de
que no es una constante de proporcionalidad, aun con el uso de identidades trigonométricas.
B) y
, donde si se divide
da un resultado dependiente de
que no es una constante de proporcionalidad (
).
Tienen dependencia lineal en el intervalo las funciones de un conjunto si cuando menos una puede ser expresada como una combinación lineal de las otras. Si no es asi, existen independencia lineal en las funciones, denotada porque ninguna función es combinación lineal del resto.
Ejemplo de un conjunto de ecuaciones linealmente dependiente:
y
tienen dependencia lineal, ya que
es una combinación lineal de las otras funciones, como se puede observar.
Una de las formas para determinar si un conjunto de ecuaciones es linealmente independiente es el Wronskiano, que permite obtener una condición idónea dentro de un intervalo.
Para poder utilizarlo, se debe suponer que cada función se puede diferenciar cuando menos veces dentro del intervalo establecido.
De acuerdo a Rainville y Bedient, dada la condición de dependencia lineal que establece que las funciones con constantes
, (en donde algunas
son diferentes de cero) son linealmente dependientes en un intervalo dado
tal que para toda
en el intervalo
Se puede deducir por diferenciación sucesiva que
Para los valores fijos de dentro del intervalo dado, la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones lineales en las constantes se establecerá por el valor del determinante. A este se le conoce como el Wronskiano de las funciones.
Si el Wronskiano es diferente de cero para alguna en el intervalo, se deduce que las constantes son iguales a cero, por lo que las funciones son linealmente independientes en el intervalo. Sin embargo, el reciproco del enunciado no es verdadero, ya que si el Wronskiano es igual a cero, no necesariamente las funciones serán linealmente dependientes, pudiera darse el caso en que el Wronskiano sea cero y las funciones tengan independencia lineal en el intervalo dado.
Ejemplo de conjunto de funciones linealmente independientes calculado con el Wronskiano:
y
son soluciones de
, y son un conjunto de funciones con independencia lineal.
Esto lo sabrás al calcular el Wronskiano. Al ser tres funciones, el Wronskiano se define de la siguiente forma
Sustituyendo y
se tiene
Como y
se comprueba que el conjunto de funciones dadas tiene independencia lineal.
2. 2. 3. Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en fenómenos físicos.
Recuerda la forma de las ecuaciones diferenciales de orden lineales (1)
Cornejo menciona que la solución general de la forma (1) para en un intervalo
se encuentra determinada de la siguiente manera
Siendo constantes arbitrarias.
Esto es cierto si las tienen independencia lineal, y si las
son funciones continuas y diferentes de 0 para toda
en el intervalo, desde
hasta
.
Estudia un ejemplo:
Si fueran dadas tres presuntas soluciones a la ecuación
Representadas por
Lo primero que tendrías que hacer para construir una propuesta de solución general es ver si tienen independencia lineal.
Como sabrás, una herramienta que puede apoyar en esta labor es el Wronskiano, en donde si resulta diferente de cero podría suponer independencia lineal en las soluciones.
Como el Wronskiano es diferente de cero (resulto ser 9) se supone un conjunto de soluciones con independencia lineal, por lo que se cumple la condición.
Como se mencionó que la solución general es
Y para
Sustituyendo las soluciones dadas en un principio,
Se tiene como propuesta de solución general
Para la ecuación
Para verificar que es solución, lo único que se debe hacer es derivarla y sustituir las derivadas en la ecuación para comprobar la identidad.
Derivando la solución general propuesta
Sustituyendo en la ecuación original
Comprobando la identidad
Con esto se comprueba que
Es solución de
Una vez que has visto la forma en que se puede utilizar la solución general de las ecuaciones diferenciales deber ver su aplicación en fenómenos físicos, que incluyen osciladores (como el movimiento armónico simple), oscilaciones forzadas, caída libre y leyes del movimiento, circuitos eléctricos y flexión de vigas, entre otros.
2. 2. 4. Ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes de orden dos
Las ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes de orden dos tienen la forma
Para retomar conceptos que ya conoces y que te permitirán encontrar la solución para esta siguiendo la lógica de Carmona & Filio, recuerda la solución de una de las formas de primer orden por variables separables.
La solución de
Resulto ser
Si es una constante
entonces por reglas de integración
De ahí se deduce que
Es solución.
Esta podría ser tambien solución para la ecuación de segundo orden sujeto de interés en este subtema. Para comprobarlo, se realizan una adecuaciones para facilitar la verificación.
Se establece que y
tal que
sea solución para
Se obtiene ahora las dos primeras derivadas de la solución para sustituirlas en la ecuación original de la forma de orden dos.
Sustituyendo en la ecuación original se tiene
Simplificando
Retomando la ecuación auxiliar de ya que
será diferente de 0 para cualquier
en el intervalo.
Calculando las raíces para
Se tiene que
De lo anterior surgen tres posibles situaciones:
a) es mayor que cero, tal que
es diferente de
: raíces reales. En caso de dase esta situación, la solución general de la ecuación es
b) es igual que cero, tal que
es igual que
: raíces reales e idénticas. En caso de darse esta situación, la solución general de la ecuación es
c) es menor que cero, tal que
es igual a
: raíces complejas. En caso de darse esta situación, la solución general de la ecuación es
Para ver la aplicación de las soluciones provistas para los distintos escenarios estudia los siguientes ejemplos.
Supón que se requiere conocer la solución de la ecuación lineal homogénea
La ecuación auxiliar se escribiría
Factorizando
Sus raíces son entonces
De esta manera se tiene que la solución general es
Como otro ejemplo, ahora para la situación de encontrar con raíces reales iguales, supón que se requiere saber si es solución de
La ecuación auxiliar se escribiría
Factorizando
Sus raíces son entonces
De esta manera se tiene que la solución general es
Por lo que si es parte de la solución general.
Una segunda forma de comprobarlo sería derivar la solución dada en un inicio para comprobarla sustituyendo en la ecuación original.
Esto es
Sustituyendo en la original
Al comprobarse la identidad, se prueba que es solución.
Como último ejemplo, ajora para la situación de encontrar con raíces complejas, supón que se requiere encontrar la solución para
La ecuación auxiliar se escribiría
Sus raíces son entonces
En donde
Sustituyendo en la forma de la solución general y
2. 2. 5. Solución por superposición
El principio de superposición o linealidad en ecuaciones homogéneas consiste en que la adicción de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea es tambien una solución de la ecuación.
El teorema dice que siendo soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden
(1), y estando
en un intervalo
y su combinación lineal
son tambien soluciones en el intervalo, siendo
constantes arbitrarias.
De una manera sencilla, Nagle, Saff & Snider lo presentan de la siguiente forma:
Si es solución de
Y solucion de
Entonces la función es solución de
Para cualquier y
.
Un resultante de esto es que una ecuación diferencial lineal homogénea tendrá siempre una solución considerada una solución trivial.
Si se quisiera ver si las funciones y
son soluciones en el intervalo de
de
Utilizando el principio de superposición se tendría lo siguiente:
Debido al principio se supone que
Es tambien una solución de la ecuación diferencial.
Para comprobarlo, se deriva la solución supuesta para obtener su primera y segunda derivadas y sustituirlas en la ecuación original.
Al hacer la sustitución en queda
Con esto se comprueba que tambien es solución.
2. 2. 6. Solución por coeficientes indeterminados
De acuerdo a Cornejo para obtener la solución general de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas puede hacerse uso de la técnica de coeficientes indeterminados, el cual aplica si la parte no homogénea, en (1) tiene las siguientes formas:
a) Polinomial, incluido en donde
es una constante.
b) Exponencial
c) Función trigonométrica con mezcla de funciones seno o coseno .
d) Una forma combinada de las antes mencionadas como adiciones y productos finitos.
Ejemplo de las formas anteriores son los siguientes:
a) (donde
es una constante)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Con esto se observa que podría encontrar una mezcla lineal de funciones de las formas mencionadas, como lo indica el inciso “d)”, esto es,
y
, en donde
y
son números reales y
es un entero positivo.
Un ejemplo de cómo obtener la solución es el siguiente:
Supón que existen una ecuación no homogénea
De la cual se requiere su solución general.
1er paso
Para calcularla, el primer paso es solucionar la parte homogénea, .
La parte homogénea construye la ecuación homogénea asociada a la ecuación completa
La ecuación auxiliar es
Resolviendo la ecuación auxiliar se tienen las siguientes raíces
Lo que resulta en
2do paso
El segundo paso consiste en hacer una propuesta para y calcular las derivadas necesarias, haciendo uso de coeficientes indeterminados.
Sustituyendo en la ecuación original
Entonces se reacomoda para poder simplificar
Para calcular los valores de y
se encuentra que
De esta manera
Sustituyendo en
3er paso
El tercer paso consiste en conformar la solución general con y
.
Por lo que la solución general es
En caso de necesitar combinar funciones trigonométricas, exponenciales y polinomios se recurre al principio de superposición aplicado en ecuaciones no homogéneas, el cual dice que si son
soluciones particulares de la ecuación con la forma (1), la solución particular
de (1) se formara con
Un ejemplo de la forma de hacerlo es el que se presenta a continuación.
Si se desea obtener la solución general de
Para hacerlo se seguirán los tres pasos del ejemplo anterior.
1er paso
Para calcularla, el primer paso es solucionar la parte homogénea, .
La parte homogénea construye la ecuación homogénea asociada a la ecuación completa
La ecuación auxiliar es
Resolviendo la ecuación auxiliar se tienen las siguientes raíces
Lo que resulta en
2do paso
El segundo paso consiste en hacer una propuesta para y calcular las derivadas necesarias, haciendo uso de coeficientes indeterminados y superposición.
para
para
De tal manera que
Calculando las derivadas necesarias
Se sustituye ahora en la ecuación original.
Entonces se reacomoda para poder simplificar
Para calcular los valores de se encuentra que
De esta manera
Sustituyendo en
3er paso
El tercer paso consiste en conformar la solución general con y
.
Por lo que la solución general es:
Una vez que has visto la forma de resolver ecuaciones por medio de esta técnica, es importante que sepas que puede fallar en casos especiales, por ejemplo, cuando tiene una función repetida en
o a la inversa,
tiene una repetida en
.
Observa un ejemplo de lo anterior.
Si se requiere determinar una solución particular para
Se tendría que la solución propuesta presentaría la forma
Si se deriva
Y se sustituye en la ecuación original
Por lo que
Esto representa entonces una propuesta de solución particular errónea para .
Observando la función complementaria, la solución de la parte homogénea (recuerda que
) se puede notar que
La ecuación auxiliar es
Resolviendo la ecuación auxiliar se tienen las siguientes raíces
Lo que resulta en
ya se encuentra presente en ella, lo que significa que al sustituirlo en la ecuación diferencial resultara el cero obtenido y que marca un resultado incongruente. Se dice que la técnica falla cuando
tiene una función repetida en
o a la inversa,
tiene una repetida en
. En este ejemplo se dio el caso.
Para calcular una solución cuando
tiene una función repetida en
se propondrá una solución particular que no tenga como resultante una incongruencia.
Para el ejemplo anterior se propondrá la solución
Derivando se tiene que
Se sustituye ahora en la ecuación diferencial original provista
Simplificando
Despejando
Sustituyendo en la solución propuesta
Se obtiene la solución particular
De esta manera se encuentra que existen dos posibles situaciones para la solución a este tipo de ecuaciones:
A) cuando
no tiene una función repetida en
B) cuando
tiene una función repetida en
En caso de enfrentarte con la primer situación, inciso ”A)”, ya se explicó cómo resolver proponiendo formas para la solución particular. Para facilitar el proceso, se proporciona a continuación una pequeña lista de ejemplos de soluciones particulares tentativas para la parte no homogénea de (1). Notaras que para las funciones más complicadas la propuesta es una simple combinación de otras más sencillas, tip que te será útil para cuando necesites construir tus propias formas:
| Parte no homogénea | Forma propuesta para |
|
| |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
Si te enfrentas con la segunda situación, ya se explicó que se puede proponer una forma de solución particular que no tenga términos repetidos en . Para hacerlo de una manera sencilla, se sugiere que
se multiplique por
, en donde
sea el número positivo entero menor que elimine la duplicidad.
Segundo ejercicio en donde se hará uso de esta sugerencia:
Se requiere calcular la solución general de
Lo primero que se tendría que hacer es ponerla en la forma de (1)
Reescribiendo para facilitar su lectura
Se aplican los pasos del algoritmo.
1er paso
Para calcularla, el primer paso es solucionar la parte homogénea,
La ecuación auxiliar es
Resolviendo la ecuación auxiliar, se observa que si se factoriza
Se tiene
Obteniendo asi las siguientes raíces
Lo que resulta en
2do paso
El segundo paso consiste en hacer una propuesta para
La parte no homogénea es por lo que se propone, según la tabla,
Si observas la propuesta, se encuentra que su segundo término ya se repite en la solución de la parte homogénea, siendo igual al primero de esta
La sugerencia dice que se multiplique por , por lo que la nueva propuesta será
Entonces, calculando las derivadas
Se sustituye ahora en la ecuación original y se simplifica
Con esto se identifican los coeficientes de los componentes de ambos lados
3er paso
El tercer paso consiste en conformar la solución general con y
.
Por lo que la solución general es
2. 2. 7. Solución por el método de operador anulador
La ecuación diferencial no homogénea de la forma (1)
Se reescribe para facilitar su tratamiento como
O lo que es lo mismo,
En donde
La ecuación se puede reescribir para simplificar el lado izquierdo como
Siendo el operador lineal de
orden diferencial o polinomial.
Ademas de servir para mostrar una vista simplificada un operador diferencial facilita, si se encuentra uno que anule en (1) a , obtener la forma de
.
Dos conceptos que sirven de soporte para poder encontrar soluciones haciendo uso del método de operador anulador son el de factorización de operadores y el de operador anulador.
La factorización de operadores es realizable en (1) mientras pueda factorizarse el polinomio de la ecuación auxiliar. Esto es, si se tiene
Y es raíz en ella,
, siendo
un operador de orden
diferencial lineal.
Observa un ejemplo.
Si se trata como una expresión algebraica se puede factorizar
Como
O
Aplicando esto a una ecuación diferencial, supón que se tiene
Esta ecuación, de acuerdo a lo dicho anteriormente, puede escribirse como
O
El segundo concepto, el del operador anulador, puede ser explicado de la siguiente forma según Zill y Cullen:
es un anulador de
si es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y
se puede derivar tanto como se necesita, cumpliendo con
A continuación se presentan ejemplos que te facilitaran comprender lo anterior…
es anulador de
donde
es una constante, ya que
.
es anulador de
, ya que
y
es anulador de
, ya que
y
.
es anulador de
, ya que
, como
es anulador de
.
Se detecta asi un patrón que muestra que anula las funciones
.
Por reglas de derivación, esta puede hacerse elemento por elemento en una suma, por lo que un polinomio con la forma
Podrá anularse si se encuentra un operador que lo haga con la potencia más alta de .
Aplicando el concepto a la solución de (1), y recordando que se tiene que las funciones que se anularían son las obtenidas en la solución general de la homogénea
, o lo que es lo mismo, las de
.
El operador anula las funciones
.
Como se puede ver, la auxiliar de
Es
Lo que dice que es raíz de
multiplicidad, deduciendo entonces que la forma de la solución general seria
El operador anula las funciones
A continuación se presentan un par de ejemplos que te facilitaran proponer operadores anuladores cuando lo requieras.
a) El operador anulador de es:
Por lo que
Ya que el grado más alto de es 3.
b) El operador anulador de es:
Por lo que
Ya que anula a
, donde
y
c) El operador anulador de es:
Por lo que
Ya que anula a
y a
, donde
y
.
d) El operador anulador de
Por lo que
Ya que anula a
y a
, donde
y
.
Cornejo describe un algoritmo general para solucionar ecuaciones de la forma (1) utilizando coeficientes indeterminados y el método de operador anulador.
1er paso
Lo primero que se hará para solucionar a (1) es recordar que:
Por lo que se debe resolver la ecuación homogénea
Para calcular .
2do paso
Posteriormente, se hace una propuesta de un operador con coeficientes constantes que anule la parte no homogénea de (1), , para calcular
.
El operador anulador debe tener forma polinomial, de función exponencial o trigonométrica, o ser una combinación lineal de las anteriores.
Al aplicar el operador quedaría la ecuación
3er paso
Una vez que se ha resuelto la ecuación anterior para tener se obtiene
Calculando los coeficientes arbitrarios de y los indeterminados de
por medio de comparar
con la ecuación homogénea asociada.
4to paso
Son obtenidos los coeficientes de sustituyéndola en la ecuación original no homogénea de la forma (1) usando coeficiente indeterminados, y los que se obtengan se sustituirán en la solución total surgida del tercer paso
Para clarificar el algoritmo anterior, se pone el siguiente ejemplo:
Se desea resolver .
1er paso
Resolviendo la ecuación homogénea para obtener
La ecuación auxiliar es
Resolviendo la ecuación auxiliar
Por lo que
Se tienen las siguientes raíces
Lo que resulta en
2do paso
Se hace la propuesta de un operador con coeficientes constantes que anule la parte no homogénea para calcular .
Aquí se harán dos propuestas de operadores anuladores, ya que se tienen dos componentes en el lado no homogéneo de la ecuación, y
1) El operador anulador de es
Por lo que
Ya que anula a
, donde
y
.
2) El operador anulador de es:
Por lo que
Ya que anula a
donde
y
Se aplica el operador resultante, a ambos lados de la ecuación original,
, haciendo
Resultando en
La ecuación auxiliar de esta última es
Resolviendo
Por lo que, eliminando los términos repetidos en
3er paso
Una vez que se ha resuelto la ecuación anterior para tener se obtiene
Calculando los coeficientes arbitrarios de y los indeterminados de
por medio de comparar
con la ecuación homogénea asociada.
Para esto, se sustituye y sus derivadas en la ecuación original.
Primero se reescribe
Sustituyendo en la ecuación original y simplificando
Comparando los coeficientes existentes en ambos lados de la ecuación, se tiene que
Por lo que
Sustituyendo los coeficientes obtenidos en
4to paso
Una vez obtenidos los coeficientes de se sustituyen en la solución total
Resultando la solución general
