Mostrando las entradas con la etiqueta Unidad 3. 2. Series de Fourier. Mostrar todas las entradas
Mostrando las entradas con la etiqueta Unidad 3. 2. Series de Fourier. Mostrar todas las entradas

domingo, 25 de abril de 2021

Unidad 3. 2. Series de Fourier

 

En ocasiones será necesario que para solucionar problemas relacionados con las energías renovables debas resolver problemas modelables con ecuaciones diferenciales del tipo clip_image002 siendo dada clip_image004 y donde clip_image006se encuentra entre 0 y un limite clip_image008, tal que clip_image010.

Buscando la solución general de la parte homogénea clip_image012, calculando la solución particular clip_image014 de la parte no homogénea, y obteniendo las constantes clip_image016 y clip_image018 para que clip_image020 sea valida para las condiciones dadas clip_image010[1].

Otra forma de hacerlo es extendiendo la forma en que se define clip_image022 en el intervalo y a toda la recta, por medio del uso de ciertas condiciones que tienen que ver con la manera en que se repite la función en el intervalo, dado que si la función tiene continuidad por tramos, entonces puede ser representada por series o componentes periódicos.

Para algunas funciones se representan por medio de series, su tratamiento suele ser más adecuado.

Dentro de los fenómenos físicos existen, entre muchos otros, sistemas eléctricos y mecánicos que suelen incluir componentes periódicos de fuerza que van más allá de ser tan solo combinaciones lineales de cosenos y de senos. Aun con esto, pueden ser representados como series infinitas de elementos trigonométricos, extendiéndose esta característica a cualquier función con periodicidad adecuada, permitiendo resolver ecuaciones por medio de superponer términos trigonométricos reemplazando sumas finitas por series infinitas.

Como ya se había visto, una función periódica es aquella en que existe un numero positivo clip_image024 que permite cumplir.

clip_image026

Siendo conocido clip_image024[1] como el periodo de clip_image022[1].

Algo importante de recalcar es que si clip_image024[2] es periodo de una función tambien lo es clip_image028 y asi de forma sucesiva, por lo que el periodo no es único para una clip_image022[2].

Si se llega a encontrar un periodo, siendo este el más pequeño número positivo que permite periodicidad para una clip_image022[3], se le conoce como el periodo de la función o periodo fundamental. Un ejemplo de ello son las funciones seno y coseno, que tienen periodo de clip_image030. Si se hiciera una combinación lineal (cualquiera que esta fuera) de esas funciones el periodo seguiría siendo clip_image030[1]. Se debe señalar que la función que modela una señal cuadrada no podría ser expresada asi, ya que las combinaciones presentadas son continuas. Otro ejemplo es la función tangente, con periodo fundamental clip_image032.

3. 2. 1. Definición de las series de Fourier

En 1822, Jean Baptiste Joseph Fourier, científico de Francia, presento en su escrito, la teoría analítica del calor, una teoría sobre su conducción, haciendo uso de series trigonométricas con coeficientes que determino de manera ingeniosa. El afirmaba que cualquier función que tuviera clip_image030[2] como periodo podía ser representada con series trigonométricas de tipo infinito, que tuvieran la siguiente forma

clip_image034

A las series que presenten la forma anterior se les llamara series de Fourier.

Autores como Zill, D. G. presentan pequeñas variaciones en esta definición, declarando que para una función clip_image022[4] que esta definida en clip_image036 su serie de Fourier es

clip_image038

En donde

clip_image040

clip_image042

clip_image044

A estos últimos, se les conoce como coeficientes de Fourier de la función.

Un ejemplo de la aplicación de estos coeficientes, presentado por el mismo autor, es el siguiente:

Supón que se tiene el diagrama

clip_image046

El cual puede ser modelado como

clip_image048

Si se deseara desarrollar el comportamiento de la función anterior en una serie de Fourier se tendría que dejarlo representado para que quedara en la forma de

clip_image050

Se puede notar que para el periodo clip_image052, utilizando las ecuaciones para el calculo de los coeficientes de Fourier de la función, se tiene que

clip_image054

clip_image056

Esto es debido a que clip_image058

Por último,

clip_image060

Sustituyendo los coeficientes obtenidos en la forma de la serie de Fourier

clip_image062

clip_image064

Como se mencionó que el periodo es clip_image032[1],

clip_image066

clip_image068

3. 2. 2. Series trigonométricas y funciones con periodicidad

Una función periódica es en la que existe un numero positivo clip_image024[3] que hace que se cumpla

clip_image026[1]

Siendo conocido clip_image024[4] como el periodo de clip_image022[5]. Observa que al numero positivo mínimo que pudiera ocupar clip_image024[5] para que esto se cumpliera era conocido como el periodo o periodo fundamental de la función.

Un ejemplo de esto es la función seno, que como ya se había mencionado, tiene periodo clip_image030[3]. Esto significa que se repite en clip_image070 por lo que clip_image072. Esta propiedad servirá para probar algunos teoremas que se expresaran mas adelante.

En ocasiones se requiere calcular el mínimo periodo, el cual va a encontrarse asi

clip_image074

Esto es, el coeficiente del ángulo es clip_image076.

Algunos autores suelen utilizar otras letras para denominar al periodo, por ejemplo, la letra clip_image078.

Esto servirá para entender y tratar las series trigonométricas.

Una serie trigonométrica tendrá una forma como esta

clip_image080

Siendo clip_image082 y clip_image084 coeficientes constituidos por números constantes reales. Es común que el periodo de estas series sea clip_image030[4] pero puede ser utilizada la parte teórica para resolver cualquier periodo.

Carmona, I. y Filio E. presentan tres teoremas que serán de utilidad:

1.    Supón que clip_image022[6] y clip_image086 son funciones periódicas con periodo clip_image024[6], entonces, si clip_image088 donde tanto clip_image090 como clip_image092 pertenecen a los números reales, clip_image094 tambien es función periódica con periodo clip_image024[7].

2.    Si clip_image022[7] tiene como periodo a clip_image024[8], entonces clip_image096 es periodo tambien, donde clip_image076[1] es numero entero.

3.      clip_image098 y clip_image100 para todo entero positivo clip_image102, son funciones que satisfacen en clip_image104 las propiedades de ortogonalidad mostradas a continuación

clip_image106

clip_image108

clip_image110

Para dar certeza a las afirmaciones hechas, se comprueban los teoremas.

·     Para el primero, como clip_image022[8] es función periódica con un periodo clip_image024[9] tal que clip_image112, y clip_image086[1] es función periódica a la vez con periodo clip_image024[10] tal que clip_image114, se tiene que

clip_image116

·     Comprobando el segundo, si clip_image022[9] tiene como periodo a clip_image024[11] tal que clip_image112[1] y clip_image118 debido a que es periódica en clip_image024[12], entonces

clip_image120

·         Para comprobar el tercer teorema, se resuelve la integral del inciso a) para ver que su resultado sea primero clip_image122 si clip_image124 y 0 si clip_image126. Las integrales del inciso b) y c) tienen una comprobación similar, únicamente cambiando las identidades utilizadas, por lo que no se resolverán.

En el primer caso

clip_image128

Se sabe que clip_image130, por lo que se puede reescribir como

clip_image132

En el segundo caso, clip_image126[1]

clip_image134

Se sabe que clip_image136, por lo que se puede reescribir como

clip_image138

Para que veas la utilidad de incluso lo más básico, como pudiera ser el cálculo del periodo mínimo, se pondría clip_image076[2] para de ejemplos de su aplicación.

Supón que deseas saber el periodo fundamental de la función clip_image140. Se sabe que el periodo de la función seno se encuentra en clip_image030[5], por lo que aplicando la formula para encontrar el mínimo periodo,

clip_image074[1]

El periodo natural es clip_image030[6], y el coeficiente del angulo en clip_image140[1] es 2, por lo que, sustituyendo

clip_image142

Por lo tanto, clip_image052[1] en clip_image140[2]

Para hacer las cosas un poco más interesantes.

Trata de encontrar el periodo fundamental de

clip_image144

Se tiene que

clip_image074[2]

Sustituyendo en la formula los valores conocidos

clip_image146

Entonces, clip_image148 en clip_image150

A continuación, se presenta una tabla de integrales que son utilizadas comúnmente al solucionar problemas relacionados:

clip_image152

clip_image154

clip_image156

clip_image158

clip_image160

clip_image162

clip_image164

clip_image166

clip_image168

clip_image170

clip_image172

clip_image174

clip_image176

clip_image178

clip_image180

clip_image182

clip_image184

clip_image186

clip_image188

clip_image190

clip_image192

clip_image194

clip_image196

clip_image198

clip_image200

clip_image202

clip_image204

clip_image206

clip_image208

clip_image210

clip_image212

clip_image214

clip_image216

clip_image218

clip_image220

clip_image222

clip_image224

clip_image226

Esto plantea algunas de las bases para la serie de Fourier, pero aún existen elementos que no se han descifrado, por ejemplo, de donde surge los coeficientes de la serie, porque varia la forma de escribirla entre distintos autores, y porque las fórmulas para los coeficientes son diferentes en alguno de ellos dependiendo del libro que se elija.

3. 2. 3. Fórmulas de Euler

Como seguramente ya habrás notado, para esta parte se ha estado desplazando de lo general a lo particular, de la definición de las series de Fourier a los fundamentos matemáticos que le dan soporte y permiten justificar su uso.

Se hablo de los coeficientes de Fourier e incluso se utilizaron haciendo ejercicios para poder sustituirlos en la serie de los valores que la resolverían, de acuerdo a cálculos efectuados sobre su modelo matemático, pero no se profundizo en cómo se obtuvieron ni el porqué de su forma.

Su origen puede centrarse en las fórmulas de Euler.

Retomando lo visto, Fourier decía que las funciones con periodo clip_image030[7] podrían representarse con series infinitas de la forma

clip_image228

Y se dice que algunos autores generalizaban aún más la forma, representándola como

clip_image230

Observaras, ahora que conoces la teoría detrás del uso de los periodos, que la segunda forma es igual a la primera si las funciones tienen periodo clip_image032[2]. Esto es, si clip_image052[2], entonces

clip_image232

Al ver diferentes libros de calculo que incluyan el tema de las series de Fourier, podrás notar que la formula, dependiendo de los autores, puede ser escrita ligeramente diferente, llegando a encontrarla de la siguiente manera

clip_image234

En esta forma clip_image236 ya no se encuentra dividida entre 2.

Entonces, ¿Cuál de las dos formas es la correcta? Si ambas representan a clip_image022[10], entonces deberían ser iguales entre ellas, y al desaparecer indiscriminadamente el divisor crean una incongruencia, ¿no es asi?

clip_image238

clip_image240

clip_image242

clip_image244

La respuesta a la incógnita es que ambas son correctas.

Se debe recordar que, a final de cuentas, son modelos matemáticos los que se encuentran representados por el conjunto de caracteres que permiten formularlos, siendo más importante que estos el concepto detrás de ellos.

Algunos autores, como lo indica Zill, eligen por conveniencia escribir el primer coeficiente como clip_image246 en lugar de clip_image236[1] para que la formula de clip_image248 coincida para clip_image250, ya que de no hacerlo asi, podría causar confusión entre algunos al verlo como un coeficiente calculable de forma distinta a la del resto pero que comparte su notación. Como ahora estas al tanto de esto, se utilizará la siguiente forma, ya que deberá ser indistinto para ti hacer los cálculos con cualquiera de las dos siempre y cuando recuerdes como definiste la serie y al coeficiente con su subíndice.

clip_image234[1]

Si clip_image022[11] es periódica, con clip_image252, se calcularán los valores de los coeficientes para todo clip_image076[3] que sea entero positivo.

Se empieza calculando clip_image236[2]. Para hacerlo, se debe integrar la función desde clip_image254 hasta clip_image032[3], que es su periodo.

clip_image256

Para clip_image258

clip_image260

clip_image262

Como lo que deseas encontrar es el coeficiente clip_image236[3], se despeja

clip_image264

Si se compara con lo que se había dicho, para reforzar el entendimiento del porque algunos autores por conveniencia escriben en la serie el coeficiente como clip_image246[1] o clip_image236[4].

clip_image040[1]

Observa que el coeficiente que se acaba de obtener se parece, para clip_image052[3], pero faltaría completar multiplicando ambos lados por clip_image266 para que quedaran iguales ambas expresiones, tal que

clip_image268

Ahora sí, tanto la expresión mostrada en el lado derecho para el coeficiente que se acaba de calcular como la del 3.2.1 son iguales, pero observa que el lado izquierdo es diferente. Dependiendo de la forma que se utiliza para expresar la serie de Fourier será la forma de expresar el primer coeficiente, clip_image236[5].

Si se expresa como

clip_image050[1]

Entonces

clip_image040[2]

En cambio, si se expresa como

clip_image234[2]

Entonces

clip_image264[1]

La diferencia entre ambas es que en una el coeficiente clip_image236[6] ya incluye a la división entre 2 en su definición.

Con esto se espera que ya sea claro el por qué podrás encontrar escrita de manera diferente la serie de Fourier, dependiendo de cómo definas al coeficiente clip_image236[7]. Continua ahora calculado el coeficiente clip_image248[1].

Para hacerlo, se debe multiplicar por clip_image162[1] ambos lados de la función e integrarlos en el periodo, esto es, de clip_image254[1] a clip_image032[4].

clip_image270

Para clip_image258[1]

clip_image272

Recuerda que se había multiplicado al principio ambos lados de la ecuación por clip_image162[2]

clip_image274

Como lo que se desea es encontrar es el coeficiente clip_image248[2], se despeja

clip_image276

Si se quiere generalizar para un periodo p

clip_image042[1]

Por último, para obtener el coeficiente clip_image278 se seguirá un procedimiento parecido al llevado a cabo para obtener clip_image248[3].

Se debe multiplicar por clip_image156[1] ambos lados de la función e integrarlos en el periodo, esto es de clip_image254[2] a clip_image032[5].

clip_image280

Para clip_image258[2]

clip_image282

Recuerda que se había multiplicado al principio ambos lados de la ecuación por clip_image162[3].

clip_image284

Como lo que se desea encontrar es el coeficiente clip_image248[4], se despeja

clip_image286

Si se quiere generalizar para un periodo p

clip_image044[1]

Que es la fórmula que se había presentado en el 3.2.1.

Ahora ya sabes de donde salen los coeficientes de la serie de Fourier, tambien conocidos como coeficientes de Fourier.

3. 2. 4. Convergencia de series.

Al utilizar la serie de Fourier para modelar alguna función periódica clip_image022[12] se desea tener las condiciones necesarias para tener la certeza de que converja cuando menos en los valores de clip_image288 en los que la función tiene continuidad.

Recuerda, una función se dice que es continua por tramos en clip_image290 mientras existan segmentos finitos del intervalo con extremos clip_image292 en los que la función tenga continuidad para cada segmento y en cada extremo el límite desde el interior el subintervalo exista y sea finito.

Zill especifica en un teorema las condiciones suficientes de convergencia puntual para una serie de Fourier, en el que dice que si clip_image294 y clip_image296 presentan continuidad en un intervalo clip_image036[1] por tramos, o lo que es lo mismo, son discontinuas en una cantidad finita de puntos en el intervalo, entonces la serie de la función converge a clip_image022[13] en un punto de continuidad, y en un punto de discontinuidad converge hacia el promedio de

clip_image298

En el que clip_image300 representa el límite de clip_image294[1] en clip_image288[1] por la derecha y clip_image302 el limite por la izquierda.

Nagle, Saff y Snider los definen con la siguiente notación,

clip_image304

Carmona & Filio agregan a las definiciones anteriores la característica ya muy particular de que sea clip_image294[2] periódica con clip_image252[1], y que clip_image022[14] y clip_image306 son continuas por tramos en clip_image308 convergiendo la serie a clip_image022[15] para el caso en que clip_image288[2] sea un punto de continuidad, o si es punto de discontinuidad a

clip_image310

Las tres diferentes formas de decirlo significan lo mismo, y establecen las condiciones de convergencia en un punto. Para comprobarlo se basará en la última forma, y que se va a suponer para ello que la función tiene continuidad en su primera y segunda derivadas.

Si se toma la definición de coeficiente de Fourier clip_image248[5]

clip_image276[1]

Resuelve la integral

clip_image312

Haciendo de nuevo la integración

clip_image314

Observa que la segunda vez que se resolvió la integral, debido al periodo de clip_image306[1] el primer termino se anula, como ocurrió durante la primera ocasión.

Al tener continuidad clip_image316 en el intervalo clip_image308[1] entonces clip_image318, siendo clip_image320 constante apropiada.

Tambien se tiene que clip_image322, por lo que

clip_image324

Resolviendo para el coeficiente clip_image278[1] se tendría que

clip_image326

Esto lleva a que cada elemento, en su valor absoluto, de la serie de Fourier de clip_image004[1] es, cuando mucho, igual al de la serie convergente

clip_image328

Por lo que se podría decir, entonces que la serie de Fourier tambien es convergente.

Para que puedas entender por medio de un ejercicio práctico el concepto, un ejemplo sencillo de convergencia que Nagle, Saff & Snider presentan es el que se encuentra a continuación:

Si se deseara saber a qué función tiene convergencia la serie de Fourier de clip_image022[16] definida como

clip_image330

Lo resolverías de la siguiente forma.

Por el teorema de convergencia, se sabe que la serie de Fourier converge a una función clip_image086[2] con clip_image252[2].

Se sabe tambien, por la descripción del problema, que esa función clip_image086[3] a la que converge se encuentra descrita por

clip_image332

clip_image334

clip_image336

clip_image338

Una forma de graficar clip_image086[4] seria

clip_image340

De esta manera conoces ahora la función a la que se converge y su forma.

Es importante que sepas que las series de Fourier pueden derivarse e integrarse. Observa ahora lo que dicen los teoremas respectivos.

Para derivar una serie de Fourier se supondrá que tanto clip_image306[2] como clip_image316[1] tienen continuidad en tramos para clip_image342. La serie de clip_image306[3] puede ser calculada haciendo uso de la serie de clip_image022[17] derivando termino por termino. Esto es, si se tiene

clip_image050[2]

Entonces

clip_image344

Esto aplica para clip_image022[18] periódica y continua en el intervalo clip_image346 con clip_image252[3]

Para integrar una serie de Fourier se supondrá que clip_image022[19] tiene continuidad por tramos para clip_image342[1] y que su serie es

clip_image050[3]

Entonces

clip_image348

Funcionando para cualquier clip_image288[3] en clip_image342[2].

Haciendo uso de lo que se sabe ya de los coeficientes de Fourier, de la periodicidad y habiendo entendido la convergencia de las series, se observaran las series de senos y cosenos de Fourier.

Si clip_image022[20] tiene continuidad por tramos en clip_image350, la serie de cosenos de Fourier para clip_image022[21] en el intervalo clip_image350[1] resulta ser

clip_image352

Con el coeficiente clip_image248[6] modelado como

clip_image354

Para clip_image356

Si clip_image022[22] tiene continuidad por tramos en clip_image350[2], la serie de senos de Fourier para clip_image022[23] en el intervalo clip_image350[3] resulta ser

clip_image358

Con el coeficiente clip_image278[2] modelado como

clip_image360

Para clip_image362

Como puedes observar, la forma en que se presentan las series de senos y cosenos de Fourier es sencilla, gracias a los conocimientos adquiridos hasta el momento, pero falta de revisar una última característica que te permitirá ademas de aplicarla en el siguiente tema. Esta característica es la de la paridad de las funciones y sus respectivas series.

·     Se dice que una función clip_image022[24] es par en clip_image290[1] si y solo si se cumple que clip_image364 para toda clip_image288[4] dentro del intervalo.

·     Caso contrario, se dice que una función clip_image022[25] es impar en clip_image290[2] si y solo si se cumple que clip_image366 para toda clip_image288[5] dentro del intervalo.

Observa un par de ejemplos.

a)    Supón que se tiene una función clip_image022[26] tal que clip_image368, por tanto, se puede decir que la función clip_image370 es impar.

b)   Supón ahora que se tiene una función clip_image022[27] tal que clip_image372, por tanto, se puede decir que la función clip_image374 es par.

c)    Si se quisiera saber si clip_image022[28] es par o impar para clip_image376, solo se tendría que desarrollar de acuerdo a los criterios definidos.

clip_image376[1]

clip_image378

Las funciones no tienen por qué caer forzosamente en alguna de las dos categorías. Si alguna función no cumple con ninguno de los criterios para poder ser clasificada como par o impar, se puede decir que la función no es par ni impar. Este es el caso de la función clip_image380, que con lo que has visto en los ejemplos podrás comprobar por ti mismo. El que una función sea par significa que es simétrica con respecto al eje de clip_image022[29], y que sea impar significa que la simetría estará con respecto al origen.

Carmona & Filio presentan un conjunto de 7 teoremas al respecto de las funciones pares e impares.

1.    Si clip_image022[30] y clip_image086[5] son funciones pares, entonces el resultado de clip_image382 será una función par.

2.    Si clip_image022[31] y clip_image086[6] son funciones impares, entonces el resultado de clip_image382[1] será una función impar.

3.    Si clip_image022[32] y clip_image086[7] son funciones pares, entonces el resultado de clip_image384 será una función par.

4.    Si clip_image022[33] y clip_image086[8] son funciones impares, entonces el resultado de clip_image384[1] será una función par.

5.    Si clip_image022[34] es par y clip_image086[9] es impar, entonces el resultado de clip_image384[2] será una función impar.

6.    La transformada de Fourier de una función periódica par clip_image022[35] con clip_image252[4] se representa en serie de Fourier de cosenos, esto es

clip_image386

Y sus coeficientes serán

clip_image388

clip_image390, para clip_image392

clip_image394

7.    La transformada de Fourier de una función periódica impar clip_image022[36] con clip_image252[5] se representa en serie de Fourier de senos, esto es

clip_image396

Y sus coeficientes serán

clip_image398

clip_image400

clip_image402, para clip_image404

Una de las propiedades de las funciones simétricas es que, si una función clip_image022[37] continua por partes en el intervalo clip_image406 es par,

clip_image408

Recuerda que la integral es el área bajo la curva, por lo que gráficamente es entendible esta característica, ejemplificando con el siguiente diagrama.

Este representa la función clip_image410 en el intervalo indicado.

clip_image411

Ahora, si la función clip_image022[38] continua por partes en el intervaloclip_image406[1] es impar,

clip_image413

Gráficamente puede ejemplificarse con el siguiente diagrama.

Este representa la función clip_image415 en el intervalo indicado.

clip_image416

3. 2. 5. Funciones no periódicas en series

Una función no periódica puede ser tomada como periódica para un tramo en el que presenta continuidad.

Supón que se tiene una función clip_image415[1]. Esta función podría ser desarrollada como una serie de Fourier de cosenos o de senos, significando esto que clip_image022[39] se consideraría como par o impar, para el primer y segundo casos respectivas.

A continuación, se define la función de las dos formas para que puedas ver como se comportaría.

Se define primero de forma completa acotándola en clip_image418

clip_image420

En donde

clip_image422

Esto es, clip_image022[40] es impar.

Su grafica seria

clip_image423

Ahora, si se toma como periódica solamente para un tramo, en este caso el derecho representándola como función par se tendría

clip_image425

En donde

clip_image427

Esto es, clip_image022[41] es par.

Su grafica seria

clip_image428

Expandiendo la función impar se tiene una gráfica como la que sigue

clip_image430

Si en cambio se expande la función par, quedara una gráfica asi

clip_image432

En cualquiera de los dos casos, se puede ya realizar un desarrollo en series de Fourier de senos o cosenos, dependiendo de si se elige la primera o la segunda grafica.

Un segundo ejemplo puesto por los autores es el de desarrollar en serie de senos y de cosenos la función clip_image434

Para hacerlo, si se expande la función de forma impar (cosenos) se tendría que

clip_image436

Lo que puede graficarse como

clip_image438

Recuerda que la transformada de Fourier de una función periódica impar clip_image022[42] con clip_image252[6] representada en serie de Fourier de senos es

clip_image396[1]

Con coeficientes

clip_image440

clip_image400[1]

clip_image402[1], para clip_image404[1]

Esto es,

clip_image442

Por lo que sustituyendo los coeficientes se tiene que la serie desarrollada en senos para función dada es

clip_image444

Para desarrollarla en cosenos el procedimiento es idéntico, solamente haciendo uso de la definición de la serie par.

Se tiene, de esta manera, que

clip_image446

La cual puede graficarse como

clip_image448

Tomando tambien del tema anterior la definición de la transformada de Fourier de una función periódica par clip_image022[43] con clip_image252[7] que se representa en serie de Fourier de cosenos se tiene que

clip_image386[1]

Y sus coeficientes serán

clip_image450

clip_image390[1], para clip_image452

clip_image394[1]

Esto es,

clip_image454

Sustituyendo los coeficientes se tiene que la serie desarrollada en cosenos para la función dada es

clip_image456

Con estos ejemplos has visto como una función no periódica puede ser tomada como periódica para un tramo en el que presenta continuidad, facilitando su desarrollo en series.

3. 2. 6. Aplicaciones de las series de Fourier en fenómenos físicos

Las series de Fourier hacen uso de desarrollos en series trigonométricas, y esto permite que puedan ser utilizadas para expresar funciones presentes en distintos fenómenos físicos.

Fenómenos que requieren dentro de su análisis expresar funciones en forma de series trigonométricas son los que presentan flujo de calor, cuerdas que vibran, movimientos de masas, fuerzas periódicas, resonancias y oscilaciones amortiguadas, entre muchos otros.

Edwards & Penney muestran ejemplos en donde se aplican las series de Fourier de los cuales se presentarán algunos de forma general, agregando al final un par de lecturas que deberás hacer para observar cómo se hace uso de estas abstracciones una vez que se introducen valores.

Supón la existencia de un sistema, con una masa clip_image458 situada en el extremo de un resorte con constante de Hooke clip_image122[1] que se encuentra con la influencia de clip_image460, siendo esta una fuerza externa periódica, en donde el movimiento de la masa es del tipo no amortiguado.

El sistema puede representarse gráficamente de la siguiente forma

clip_image461

La distancia clip_image006[1] que se mueve desde el punto en donde se encuentra en equilibrio cumple con la ecuación que seguramente viste en tus cursos de física,

clip_image463

Cuya solución general tiene una forma como

clip_image465

La frecuencia natural, como puede observarse, es clip_image467, el cual es igual a clip_image469, y los coeficientes pueden ser determinados por los valores iniciales, siendo clip_image471 una solución particular.

Se puede hacer uso de la serie de Fourier para hallar una solución particular periódica de clip_image463[1]. A esta solución se le conoce como periódica estacionaria, y será representada por clip_image473

Se considera que la fuerza externa es función impar con clip_image475, por lo que podrá ser representada como una serie de senos de Fourier.

clip_image477

Si la frecuencia de la función seno no es igual a la natural, o lo que es lo mismo clip_image479 para clip_image481 se puede encontrar una solución periódica del tipo

clip_image483

Por medio de la sustitución de las series de las ecuaciones presentadas para poder calcular clip_image278[3].

Para darle un toque practico, se piensa que la constante de Hooke es clip_image485, la masa es de 2kg y la fuerza externa se encuentra definida como periódica de tipo impar con clip_image487 de la forma

clip_image489

Un diagrama que representa el comportamiento de la función de la fuerza externa pudiera ser este

clip_image491

La serie de Fourier de la función anterior es

clip_image493

Para llevar a cabo el cálculo de la solución periódica estacionaria clip_image495 se tiene que

clip_image497

Lo único que se tendría que hacer es calcular clip_image278[4] para sustituirlo en la función anterior clip_image495[1], que es la que se pretende encontrar.

Al final, si se desarrollan las operaciones de forma adecuada, deberá quedar que

clip_image499

Por lo que

clip_image501

Otro ejemplo de las aplicaciones que tiene la serie de Fourier es en la resonancia.

Se dice que si hay un termino clip_image503 en la solución de la serie de clip_image460[1] en clip_image463[2] en donde clip_image505 es igual a la frecuencia natural clip_image467[1], este término genera resonancia pura. Analizando lo dicho para llegar a una expresión que lo resuma, si clip_image507, entonces clip_image509, por lo tanto

clip_image511

El motivo de que se genere la resonancia pura radica en que la ecuación anterior

clip_image513

Tiene como solución de resonancia, cuando clip_image515, a

clip_image517

Recordando, para llevar a cabo el cálculo de la solución periódica se tiene que

clip_image497[1]

Para este ejemplo, la solución de la ecuación anterior será

clip_image519

 

Unidad 2. 1. Antecedentes normativos en suelos

  Es importante conocer los sistemas normativos con respecto a la contaminación del suelo, dado que son estos los que regulan los límit...