Introducción
La regla de Cramer es un método sencillo que se usa para resolver un sistema de ecuaciones lineales, a través de sus matrices y determinantes.
Para trabajar con la regla de Cramer, a partir de una matriz A, se deben construir otras matrices, las cuales se denotarán como A. Cada Ai es idéntica a A, excepto por la columna i. En cada Ai la columna i será reemplazada por el vector b. De esta manera, al obtener los determinantes de cada una de las matrices formadas, se podrá aplicar la regla de Cramer.
Desarrollo:
Para comprender el tema de la unidad 3, te invito a realizar la lectura de la unidad, y posteriormente realiza lo siguiente
Ejercicio 1.
Investiga las propiedades de las determinantes y desarrolla un ejemplo de cada propiedad.
Propiedad 1.
Para cualquier matriz A, A y su transpuesta tienen el mismo determinante:
Propiedad 2.
Si la matriz tiene una fila o una columna en la que todos sus elementos son cero, entonces |A|=0.
det(A)=a⋅d−b⋅c2
Propiedad 3.
Si la matriz tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces su determinante también es cero: |A|=0.
Las filas 2 y 3 de la matriz son los múltiplos de la primera fila.
Propiedad 4.
El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes:
Propiedad 5.
Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor.
Extraemos el factor común de la segunda fila.
Propiedad 5.
Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo.
Propiedad 6.
El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal.
Propiedad 7.
Si una matriz es invertible, el determinante de la matriz inversa es el inverso de la determinante.
Ejercicio 2.
Suma y resta de determinantes. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales, utilizando menores y cofactores. Es importante que incluyas las operaciones que realizas paso a paso. Evita colocar solo el resultado.
Con las ecuaciones anteriores realiza:
a) A+B
b) A-B
c) B-A
Ejercicio 3.
Comparación de determinantes. Sean P y Q dos matrices de 3 x 3. Encuentra los determinantes de P y de Q y compáralas. Recuerda incluir operaciones que realizas, paso a paso:
Ejercicio 4.
Teorema de la regla de Cramer. Investiga sobre la regla de Cramer y el procedimiento a seguir para resolver la siguiente ecuación.
Conclusión analítica.
La realización de este ejercicio me ayudo a reafirmar el conocimiento adquirido durante la unidad 1 y 2 de esta materia, así mismo para poder entender el desarrollo de las diferentes propiedades con las que se cuenta para la solución de determinantes.
También me permitió comprender un poco más la forma de realizar las determinantes por el método de triangulación y por el método de Cramer.
No ha sido sencillo, me ha costado mucho tiempo y esfuerzo el comprender este tipo de operaciones, sin embargo, creo que las he desarrollado de una manera bastante correcta.
Referencias
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Charre, D. E. (12 de enero de 2011). (C. Departamento de Matemáticas, Ed.) Recuperado el 10 de marzo de 2019, de http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-12.pdf
Determinantes. (s.f.). México: DCSBA. Recuperado el 6 de marzo de 2019, de https://documentcloud.adobe.com/link/track?uri=urn%3Aaaid%3Ascds%3AUS%3Ad65406f4-67cb-4f0d-b7c2-c018678a5da6
Iglesias, A. P. (2006). Descartes. Recuperado el 10 de marzo de 2019, de Ministerio de Educación, Cultura y Deporte: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/determinantes_api/propiedades_de_los_determinantes.htm
Universidad Autónoma de Baja California. (s.f.). Recuperado el 10 de marzo de 2019, de http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/propiedadesdets.htm
