Unidad 2. 2. Trabajo

Comúnmente la palabra trabajo se aplica a cualquier clase de actividad que requiere realizar un esfuerzo muscular, sin embargo, en física está palabra tiene un significado más restringido. Se realiza un trabajo cuando se levanta un objeto con una fuerza de gravedad, mientras más pesado, o bien más alto se levante el trabajo, es mayor. Siempre que se hace un trabajo intervienen dos elementos: la aplicación de una fuerza y el movimiento de un objeto por la acción de esta fuerza.

2.2.1. Trabajo efectuado por una fuerza.

De forma cuantitativa, se recuerda que el trabajo W realizado por una fuerza f constante aplicada sobre un cuerpo, se define como el producto del desplazamiento d, por los componentes de la fuerza en la dirección del desplazamiento ,es decir , como se muestra en la figura.

Ilustración 1 Trabajo realizado por una fuerza f durante un desplazamiento d en la dirección x

Es importante destacar que se realiza trabajo únicamente cuando la fuerza ejercida por el cuerpo tiene un componente en la dirección en la que se mueve en caso contrario, aun cuando exista movimiento, no habrá trabajo. Por ejemplo, se realiza trabajo cuando se levanta un objeto a cierta altura o cuando se comprime un gas que se encuentra dentro de un recipiente.

Si se representa la unidad de trabajo con W, entonces se tiene que el Sistema Internacional la unidad para esta variable es de acuerdo con la definición Newton por metro, es decir, , a está unidad se le llama Joule, de manera que . En el Sistema Inglés la unidad de trabajo es el pie-libra.

Trabajo efectuado por una fuerza variable.

Cuando la fuerza que actúa sobre una partícula es variable, entonces está se moverá por una trayectoria curva como se muestra en la figura.

Ilustración 2 Partícula moviéndose en una trayectoria curva por la acción de una fuerza variable.

Para calcular el trabajo en este caso, se divide la trayectoria en pequeños desplazamientos , que estén en la dirección del movimiento a lo largo de la trayectoria. El trabajo efectuado sobre la partícula en el desplazamiento  es , donde la flecha encima de las variables significa que son cantidades vectoriales y las variables sin flecha son las magnitudes.

Así pues, el trabajo hecho por una fuerza variable  sobre la partícula cuando se mueve del punto A al punto B, es:

Está integral se puede evaluar cuando se conozca la variación de  y q a lo largo de la trayectoria.

2.2.2. el equivalente mecánico del calor.

Ya se había mencionado que el calor, también se conoce como energía térmica, se define como la energía que se transfiere entre dos cuerpos en virtud de una diferencia de temperaturas entre ambos. La unidad que se utilizó para medir el calor fue la caloría, definida como el calor que se requiere para elevar la temperatura de un gramo de agua de 14.5ºC a 15.5ºC, mientras que el Joule se utilizó como una medida para medir el trabajo.

El trabajo y el calor eran interpretados como dos aspectos separados, sin embargo, en 1798 Rumford sugirió que el calor tenía un aspecto mecánico, por lo que debería de existir una conexión entre estos dos conceptos. Posteriormente, Joule determino por primera vez la equivalencia entre la caloría y el Joule, igualdad conocida como el equivalente mecánico del calor.

El experimento de Joule consiste en dejar caer unos cuerpos, los cuales hacen girar un conjunto de aspas en el interior de un recipiente aislado, el cual contiene una masa conocida de agua, como se muestra en la figura.

Ilustración 3 Dispositivo de Joule.

La caída de los cuerpos contribuye con una cantidad conocida de trabajo que es efectuado sobre el agua, esto es , donde W₁ es el trabajo realizado sobre el agua por una caída de los cuerpos, m es la diferencia de las masas que caen, g es la aceleración de la gravedad de la tierra y h es la altura de la caída. De manera que, si los cuerpos se dejan caer n veces, entonces el trabajo efectuado sobre el agua es:

Este trabajo se puede determinar, ya que las variables de la derecha se pueden medir directamente.

Con las n caídas de los cuerpos, se provoca un aumento de la temperatura ΔT, en la masa m del agua contenida en el recipiente, y este mismo aumento se puede provocas transfiriendo una cierta cantidad de energía calorífica, dad por:

Está cantidad de energía también se puede determinar, pues las variables del lado derecho de la igualdad se pueden medir directamente en el experimento, de manera que:

Realizando esas mediciones Joule encontró la igualdad:

Igualdad que como se ha mencionado recibe el nombre de equivalente mecánico del calor.

Presión.

Cuando se aplica una fuerza superficial a un fluido, está le puede causar dos efectos, si la fuerza es tangencial entonces el fluido se deforma, de manera que las diferentes capas de fluido resbalan una sobre otra, a esta fuerza tangencial por unidad de área se le conoce como esfuerzo cortante. Mientras que, si la fuerza es perpendicular, el fluido se comprime y la magnitud de la fuerza perpendicular por unidad de área se llama presión.

En general, se define la presión P como la razón de la magnitud de la fuerza normal dF ejercida sobre una pequeña superficie dA, lo cual se puede describir simbólicamente como:

Si la presión es la misma en todos los puntos de una superficie plana finita de área A, entonces se puede escribir simplemente . Y como la fuerza se mide en newtons N y el área en metros cuadrados m² en el Sistema Internacional, entonces se tiene que , unidad conocida como pascal Pa. De aquí se tiene que .

Otras unidades de presión que son ampliamente que son ampliamente utilizadas son:

·         La unidad de presión atmósfera (atm)

·         El centímetro de mercurio (cmHg)

·         La libra sobre pulgada cuadrada

·         El bar.

Las equivalencias entre estas unidades son las siguientes:

Trabajo realizado en un cambio de volumen

Para calcular el trabajo realizado en un cambio de volumen por un sistema sometido a presión, considérese un gas contenido en un recipiente cilíndrico provisto de un pistón móvil sin rozamiento y que se ajusta perfectamente, como se muestra en la figura.

Ilustración 4 Gas contenido en un cilindro provisto de un pistón móvil.

Inicialmente el sistema, que es el gas, se encuentra en equilibrio con su medio ambiente externo, el cual está formado por el depósito de calor y el pistón. En estas condiciones, el gas se encuentra a una presión P_i y tiene un volumen VI_VI. Así pues, el calor solo puede entrar o salir del sistema a través del fondo del cilindro y por medio del pistón el gas se puede comprimir o expandir, realizándose un trabajo sobre el sistema. El primer caso se dice que se realizó trabajo sobre el sistema y en el segundo caso se dice que el sistema realiza un trabajo.

Considérese un proceso mediante el cual el sistema interactúa con su medio ambiente y llega a un estado de equilibrio final, caracterizado por la presión P_f y un volumen V_f. El trabajo realizado por el gas para desplazar al pistón en una distancia infinitesimal ds es:

Donde dW es el trabajo y  es la fuerza aplicada sobre el pistón y dV es el cambio diferencial en el volumen del gas.

El trabajo total W realizado en un cambio finito de volumen es de V_i a V_f es:

Para evaluar está integral es necesario conocer la variación de la presión en función del volumen, lo cual significa que el trabajo realizado depende no solamente del volumen inicial y final, sino que depende también de la forma en la que varía la presión durante el cambio de volumen.

La integral mencionada puede ser evaluada gráficamente también como el área bajo la curva de un diagrama P-V, un caso especial se muestra en la figura.

Ilustración 5  El área bajo la curva P-V es el trabajo efectuado por un gas.

Se ha convenido que el trabajo realizado por el sistema es positivo, mientras que el trabajo realizado sobre el sistema es negativo. Así que, si una sustancia se dilata desde el estado i, hasta el f, entonces el área bajo la curva se considera positiva, mientras que la presión desde el estado f al i origina un área negativa.

Para llevar un sistema de un estado que se representará con 1 a otro representado con 2, se puede seguir una trayectoria, que bien puede ser distinta para llevar ahora a este sistema de 2 a 1, como se muestra en la figura.

Ilustración 6 Dos trayectorias para llevar a un sistema entre dos estados 1 y 2.

El trabajo realizado por la sustancia en la expansión está indicado por el área sombrada debajo de la curva. De la misma manera para una comprensión, el trabajo realizado sobre el sistema está representado por el área sombreada bajo la curva II. Se debe destacar que, de acuerdo con la convención de signos para el trabajo, se tiene que el signo para el área debajo de la curva I es positiva, mientras que el signo para el área situada debajo de la curva 2 es negativa.

Cuando el sistema regresa a su estado inicial después de una serie de procesos se dice que ha ocurrido un ciclo. De manera que un ciclo se puede representar por una figura cerrada en un diagrama P – V como se muestra en la figura.

Ilustración 7  Ciclo constituido por dos procesos.

Es claro que en un ciclo el área comprendida por la figura cerrada es la diferencia entre las áreas situadas bajo las curvas I y II, por lo que representa el trabajo realizado en el ciclo.

Trabajo y trayectoria.

El trabajo depende de la trayectoria que se siga para llevar al sistema del estado inicial al final, es decir, depende tanto del valor de los volúmenes inicial y final, como de la forma en que cambia la presión con el volumen. Existen muchos procedimientos por los cuales un sistema puede pasar de un estado inicial a uno final, algunos de los cuales se ilustran en la figura.

Ilustración 8 Dos procesos para llevar a un sistema entre los estados inicial y final.

En este diagrama se han representado por los puntos 1 y 2 un estado inicial 1, caracterizado por una presión P₁ y el volumen V₁ y un estado final 2, caracterizado por la presión P₂ y el volumen V₂. Para que el sistema pase de 1 a 2 puede mantenerse la presión constante desde 1 a 3 y después mantener el volumen constante desde 3 a 2, en este caso el trabajo realizado es igual al área bajo la recta 1®3. Otra posibilidad es seguir la trayectoria 1®4®2, en cuyo caso el trabajo realizado es igual al área bajo la recta 4®2. La curva continua, así como la dentada representan otras trayectorias por las que se puede llevar al sistema entre los estados 1 y 2. Es calor que el trabajo realizado es diferente en todos los casos presentados, por lo que se puede decir que el trabajo depende de la trayectoria seguida para llevar a un sistema entre un estado inicial y uno final.

Trabajo y calor.

Se ha mencionado que el calor es la energía que se transfiere de un cuerpo a otro en virtud de una diferencia de temperaturas entre ellos. De manera que el calor no es una propiedad de los cuerpos, solo cuando la energía se transfiere a causa de una diferencia de temperaturas se le llama calor.

Así también, el trabajo no es una propiedad que contenga un sistema, más bien sobre un sistema se puede realizar una cantidad definida de trabajo. Tanto el calor como el trabajo involucran una transferencia de energía. Cuando la transferencia de energía ocurre sin que intervenga la temperatura, a esa transferencia de energía se le llama trabajo. Si se transmite energía debido a una diferencia de temperaturas entonces se trata de calor.

Para decidir si una transformación particular de un sistema implica la realización de un trabajo, o la transmisión de calor, se requiere en primer lugar tener claramente delimitado el sistema que se esté considerando, por ejemplo, en el caso de una resistencia eléctrica que se encuentra inmersa, y se toma como sistema la resistencia y el agua como medio ambiente, entonces hay una transmisión de calor desde la resistencia, en virtud de una diferencia de temperaturas entre la resistencia y el agua. Si ahora se considera una porción del agua y el resto del líquido como medio exterior, existe de nuevo una transmisión de calor.

Si se considera como sistema al conjunto del agua y la resistencia, entonces no hay transmisión de calor entre el sistema y el medio exterior. Así pues, este ejemplo pone de manifiesto que primero debe definirse con claridad el sistema y su medio ambiente antes de decidir si el cambio en el estado del sistema se debe a un flujo de calor, a la realización de un trabajo o a ambos. Solo habrá transferencia de calor entre el sistema y su medio ambiente cuando exista una diferencia de temperaturas a través de los límites del sistema, si no hay diferencia de temperaturas entonces la transferencia de energía implica la realización de un trabajo.

La realización de trabajo y la transmisión de calor son formas de transferir energía a un cuerpo, o bien extraer energía de él. En general, el trabajo realizado sobre un sistema depende de la trayectoria por la cual el sistema pasa de un estado inicial a uno final. Lo mismo se puede afirmar del calor transmitido a un cuerpo o cedido por él. El calor depende también de la trayectoria.

2.2.3. Primera ley de la termodinámica.

Supóngase que un sistema cambia de un estadio de equilibrio inicial 1 hasta un estado de equilibrio final 2 a través de una trayectoria determinada, y que se mide el calor Q absorbido y el trabajo W realizado por dicho sistema, de manera que se puede calcular la diferencia Q – W. Posteriormente se hace un cambio del sistema desde el mismo estadio inicial 1 hasta el mismo estado final 2, por medio de otra trayectoria resulta que la diferencia Q – W es la misma que en el primer caso. Si se hace lo mismo para muchas trayectorias diferentes, se encuentra que en todos los casos Q – W es la misma para todas las trayectorias que unan el estado 1 con el estado 2. De manera que aun cuando Q y W dependan por separado de la trayectoria seguida su diferencia Q – W no depende de la forma en que el sistema pasa del estado inicial 1 al estado final 2, solo depende de los estados de equilibrio inicial y final.

Así pues, cuando un sistema cambia desde un estado inicial 1 hasta un estado final 2, la cantidad Q – W no cambia, es decir, está cantidad depende solamente de las coordenadas iniciales, y no de la trayectoria seguida para llevar al sistema entre estos dos estados. De aquí se concluye que existe una función de las coordenadas cuyo valor final menos su valor inicial es igual a la diferencia Q – W. A esta función se le llama energía interna y se representa como U, de manera que:

O bien si:

Está expresión indica que la cantidad de energía que posee un cuerpo se puede alterar transfiriéndole o extrayéndole energía en forma de calor o en forma de trabajo.

Lo que realmente interesa en la energía interna es solo su cambio, de modo que se puede asignar un valor arbitrario a dicha energía en un cierto estado de referencia, su valor en cualquier otro estado queda definido, ya que Q – W es la misma para cualquier proceso que lleve de un estado a otro.

La expresión  se puede escribir también de otra forma que resulta útil desde el punto de vista matemático. El cambio consiste en considerar que, si el sistema sufre un cambio infinitesimal en su estado, entonces solo se absorbe una cantidad infinitesimal de calor dQ y se efectúa una cantidad infinitesimal de trabajo dW, de manera que el cambio en la energía interna es también infinitesimal. Simbólicamente se escribe:

Está expresión se conoce como la primera ley de la termodinámica.

Si el sistema es tal que único trabajo posible es el que se realiza mediante una expansión o una compresión entonces el trabajo está dado por , de manera que la primera ley se puede escribir como:

2.2.4. aplicaciones de la primera ley de la termodinámica.

La primera ley de la termodinámica se puede aplicar a algunas situaciones particulares, de manera que se puede obtener información sobre la energía interna. Los casos que se analizaran a través de la primera ley son: transformación adiabática, transformación isotérmica, transformación isovolumétrica, transformación isobárica y expansión libre.

Transformaciones adiabáticas.

Se llama transformación adiabática a cualquier proceso en el cual un sistema no recibe ni pierde calor, por lo cual sería necesario que el sistema estuviera rodeado por un aislador perfecto del calor, o bien que el medio ambiente se mantuviera a la misma temperatura que el sistema. Cuando un gas sufre una expansión o compresión rápida, aun cuando las paredes del recipiente donde este contenido no sean aislantes, está transformación se puede considerar adiabática, ya que como el proceso se efectúa rápidamente entonces no entrará ni saldrá una cantidad apreciable de calor en el pequeño intervalo de tiempo en que ocurre el proceso.

Así pues, en una transformación adiabática la cantidad de calor que entra o sale del sistema es cero, Q = 0, de donde aplicando la primera ley de la termodinámica , se tiene que:

Si en un proceso adiabático el sistema se expande, entonces este realiza un trabajo positivo W>0, de manera que el cambio en la energía interna será negativo, esto es:

De acuerdo con esta última expresión se tiene que, si un sistema efectúa trabajo adiabático, entonces la energía interna del sistema disminuye, ya que el trabajo se realiza a expensas de esta energía interna. Una disminución en la energía interna de un gas implica una reducción de su temperatura.

En el caso de que el sistema sufra una compresión adiabática, entonces se hará un trabajo sobre el sistema el cual es negativo W<0, y como  de acuerdo a la primera ley de la termodinámica, entonces se tiene , es decir , de donde se tiene que la energía interna final es mayor que la energía interna inicial, esto es, la energía interna aumenta en una comprensión adiabática, y en este caso habrá una disminución de la temperatura del sistema.

Así pues, en un proceso adiabático, la energía interna de un sistema aumenta en la misma cantidad de trabajo efectuado sobre él. Asimismo, si en una transformación adiabática el sistema hace trabajo, entonces la energía interna disminuye en la cantidad de trabajo que realice.

Para llevar a cabo un proceso adiabático se puede considerar como sistema una cierta masa de gas, que bien puede ser aire, contenida en un cilindro construido de material aislante, provisto de un émbolo que se puede mover libremente como el que se muestra en la figura.

Ilustración 9 Gas contenido en un cilindro provisto de un émbolo.

El calor no puede entrar en el sistema, ni pasar del sistema a su medio ambiente, de manera que la única interacción que se permite entre el sistema y su medio ambiente es mediante la realización de un trabajo. Así pues, una transformación adiabática ocurre cuando se pone o se quita una masa sobre el émbolo, de manera que el gas puede comprimirse o dilatarse contra el émbolo.

Los procesos adiabáticos son importantes en ingeniería, ya que la dilatación de los gases calientes en una máquina de combustión interna, la compresión del aire en una maquina Diesel, son aproximaciones a procesos adiabáticos.

Transformación isobárica.

Se llama transformación isobárica la que ocurre a una presión constante, mientras que el volumen cambia a una cantidad finita. En una transformación isobárica tanto el trabajo realizado como el calor transferido son diferentes a cero.

Considérese un sistema formado por agua en un recipiente cilíndrico provisto de un émbolo que se puede mover libremente sin fricción, como se encuentra en la figura.

Ilustración 10  Agua contenida en un cilindro provisto de un émbolo.

A este sistema se le puede transferir calor por medio de una fuente. Si el proceso continuo entonces durante el tiempo suficiente, entonces el agua hierve y una parte de ella se convierte en vapor. El sistema puede dilatarse lentamente, pero la presión que ejerce sobre el émbolo debe ser siempre la misma.

Por otra parte, en el proceso de ebullición, el agua cambia de fase de líquido a vapor en ciertas condiciones de presión y temperatura, por ejemplo, el agua hierve a 100ºC a nivel del mar. Se sabe que para que una sustancia cambie de fase se le tiene que transferir o quitar calor.

Considérese pues el cambio de fase de una masa m de líquido a vapor, a temperatura y presión constantes. Si V_l es el volumen de líquido y V_v es el volumen de vapor, entonces el trabajo realizado al aumentar el volumen desde V_l hasta V_v es:

Por otra parte, el calor absorbido por unidad de para que ocurra el cambio de fase se representa con L y se llama calor de vaporización. Entonces el calor absorbido por la masa m durante el cambio de fase es:

De manera que por la primera ley de la termodinámica:

Se tiene que:

Transformación isovolumétrica.

Se llama transformación isovolumétrica o isocórica al proceso que experimenta un sistema a volumen constante. Como en este proceso no hay variación de volumen, entonces no se realiza ningún trabajo, W = 0 y de acuerdo con la primera ley de la termodinámica:

Donde se tiene que:

De manera que en un proceso isovolumétrico todo el calor que se suministra a un sistema se utiliza para aumentar su energía interna.

Transformación isotérmica.

Se llama transformación isotérmica al proceso mediante el cual el volumen manteniendo la temperatura constante. Considérese un gas que absorbe cierta cantidad de calor y se expande realizando un trabajo W, como se muestra en la figura.

Ilustración 11 Agua contenida en un cilindro provisto de un émbolo.

En el caso de un gas ideal la energía interna es proporcional a la temperatura Kelvin, y solo depende de está, de manera que para una transformación isotérmicas también la energía interna es constante así que  y usando la primera ley de la termodinámica.

Se tiene que:

De donde se tiene que:

De manera que para que un gas se pueda expandir isotérmicamente, debe recibir una cantidad de calor igual a trabajo que realiza en la expansión. De la misma manera para que un gas sea comprimido sin que se eleve su temperatura, tiene que liberar una cantidad de calor igual al trabajo realizado sobre él.

Por otra parte, cuando el volumen V de un gas ideal varía la temperatura T constante, entonces la presión se puede expresar como:

Donde n es el número de moles y R es la constante universal de los gases.

Y como el trabajo es , entonces el trabajo realizado en una transformación isotérmica es:

De modo que:

Expansión libre.

La expansión libre o expansión en el vacío consiste en un proceso adiabático en el cual no se efectúa trabajo sobre el sistema ni se hace trabajo por él. Considérese un recipiente de paredes aislantes de manera que el recipiente se encuentra dividido en dos partes por medio de una válvula y que una parte contiene un gas mientras que en la otra se ha hecho el vacío, como se muestra en la figura.

Ilustración 12  Recipiente dividido por una válvula.

Si de pronto se abre la válvula, el gas se precipita hacia el vacío y se expande libremente. Como el recipiente está construido de paredes aislantes entonces el proceso es adiabático, y como las paredes del recipiente son rígidas, entonces el proceso isovolumétrico; de manera que el sistema no efectúa ningún trabajo. Por lo tanto, poniendo estos datos en la primera ley de la termodinámica, resulta que:

Ya que tanto Q = 0, como W=0.

Una expansión libre no tiene interés desde el punto de vista práctico, sin embargo, este proceso tiene un gran interés teórico, por lo pronto es un buen ejemplo de un proceso no reversible.

2.2.5. calores específicos de un gas ideal.

La temperatura de una sustancia se puede elevar bajo distintas condiciones, por ejemplo, se puede mantener el volumen constante o se puede mantener la presión constante, pero también se puede dejar que tanto la presión como el volumen cambien. En cada uno de estos procesos la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de la unidad de masa en un grado es diferente. De modo que una sustancia puede tener diferentes calores específicos, en esta parte se describirán dos: “a presión constante” y a “volumen constante”.

Por otra parte, se tiene que el calor específico de una sustancia se define como el calor que se requiere para que la unidad de masa cambie su temperatura en una unidad. En el caso de que se utilice como unidad de masa al mol, entonces el calor específico correspondiente recibe el nombre de capacidad calorífica molar y se representa por C. Simbólicamente se escribe:

Donde C es la capacidad calorífica, dQ es la cantidad de calor para que la temperatura de n moles cambie en dT.

De la misma manera, se tiene que para un gas ideal las moléculas son esferas elásticas y no hay interacciones entre ellas a menos de que choquen, también se supone que las moléculas no se deforman en las colisiones. Esto implica que en un gas ideal no hay energía potencial interna, por lo que la energía interna de un gas ideal es solo energía cinética.

Asimismo, se ha mostrado que la energía cinética de traslación promedio por molécula  se relaciona con la temperatura T por medio de la expresión:

Donde  es la constante de Boltzmann.

De manera que reagrupando la ecuación anterior se obtiene:

Es decir, la energía cinética media de traslación por molécula es . De manera que la energía total de traslación de n moléculas de gas es n veces la energía media por molécula, esto es:

En donde , N_A es el número de Avogadro y el número de moles n es . A R se le conoce como la constante universal de los gases, cuyo valor es:

De modo que la energía interna de un gas ideal monoatómico que contiene N moléculas es:

Esta ecuación establece que la energía interna de un gas ideal es proporcional a la temperatura Kelvin, y solo depende de la temperatura, es decir, es independiente de la presión y del volumen.

Para encontrar una relación entre los calores específicos a presión constante C_p y a volumen constante C_v considérese un número de moles n de moles de un gas ideal encerrado en un cilindro provisto de un émbolo. El cilindro se apoya sobre un depósito de energía térmica cuya temperatura puede aumentarse o disminuirse, de manera que se pueda transferir calor al sistema, o bien extraerlo de el a voluntad.

El estado del sistema está representado por el punto a del sistema P – V de la figura.

Ilustración 13  Dos isotermas para un gas encerrado en un cilindro.

En la figura se muestran dos isotermas, en las que los pintos de una de ellas corresponden a una temperatura T y los puntos de la otra curva corresponden a una temperatura T + dT.

Ahora se eleva la temperatura del sistema en dT, aumentando muy despacio la temperatura del depósito. Conforme se desarrolla el proceso se aumenta la presión exterior sobre el émbolo del cilindro, de modo que el volumen V no cambie. Así este proceso a volumen constante pasa del estado inicial a al estado final c como se muestra en la figura 13.

Así pues, de acuerdo con la primera ley de la termodinámica.

Y para este proceso se tiene que por definición.

Y como  puesto que el proceso es a volumen constante, entonces:

Sustituyendo en la primera ley de la termodinámica se tiene que:

Posteriormente, se regresa el sistema a su estado inicial a y a partir de aquí se aumenta su temperatura otra vez en ΔT, pero ahora aplicando la misma fuerza exterior sobre el émbolo del cilindro, de manera que la presión no varíe. Este proceso se lleva al sistema desde su estado inicial a hasta su estado final, como se muestra en la figura 13.

Por la primera ley de la termodinámica se tiene que

Y en este caso, por definición:

También se tiene que el trabajo se determina por la relación:

Ya se dijo que para un gas ideal la energía interna solo depende de la temperatura, de manera que cuando está sea constante, también lo será la energía interna, es decir, las isotermas son curvas de energía interna constantes. Así que la energía interna tiene un valor constante U en todos los puntos de la isoterma de temperatura T y un valor constante U + dU en todos los puntos del isoterma de temperatura T + dT. Así pues, los procesos a®b y a®, y en general en todos los procesos en los cuales el gas pasa por un punto cualquiera de una isoterma a un punto cualquiera de la otra, implican el mismo cambio en la temperatura, y por esta razón también implican el mismo cambio en la energía interna dU.

Así pues, para un proceso a presión constante la variación de la energía interna es la misma que para un proceso de volumen m, es decir:

De modo que para un proceso a presión constante se tiene que de acuerdo con la primera ley de la termodinámica:

Como la ecuación de estado para un gas ideal está dada por la expresión:

Entonces se puede escribir como:

Y esta última permite escribir el trabajo W como:

De manera que:

O bien:

Esta última ecuación dice que la capacidad calorífica molar de un gas ideal a presión constante es mayor que la capacidad calorífica molar a volumen constante en una cantidad igual a la constante universal de los gases. Aunque está ecuación solo es exacta para gases ideales, se cumple con buena aproximación para gases reales a bajas presiones.

Por otra parte, como se sabe en la teoría cinética la energía interna U se relaciona con la temperatura T, por medio de la expresión:

Entonces se puede determinar las capacidades caloríficas molares, ya que:

De donde:

Comprensión o expansión adiabática en un gas ideal.

En el caso de un gas ideal, un proceso adiabático no está descrito solamente en función de PV = nRT. La dificultad consiste en que las tres variables de estado P, V y T, cambian durante el proceso. Para conocer el cambio de cada una de ellas se necesita otra ecuación, que puede encontrarse al observar que el trabajo realizado sobre el gas se transforma completamente en energía interna. Al aumentar la energía interna cambia la temperatura del gas. Sin embargo, este cambio de la temperatura se puede lograr transfiriendo calor al sistema, de esta manera puede encontrarse una relación entre calor, cambio de temperatura y trabajo, aún para un proceso adiabático.

Para encontrar una relación entre la presión P y el volumen V considérese que un gas experimenta una transformación adiabática reversible infinitesimal, de manera que de acuerdo con la primera ley de la termodinámica:

En el caso de una transformación adiabática dQ =0 y para un gas ideal . Por lo tanto:

Utilizando ahora la ecuación de estado para un gas ideal , se tiene que:

Como:

Entonces:

Y como , entonces:

De manera que reagrupando se tiene que:

O bien:

Lo cual se puede escribir como:

O equivalente:

Si se define , entonces:

Si se considera que el proceso es finito y se integra la ecuación anterior se obtiene:

Donde  es una constante de integración. Es decir:

O también:

Donde 1 y 2 son dos puntos arbitrarios del proceso.

La relación entre la temperatura T y el volumen V se obtiene sustituyendo  en la ecuación , esto es:

O equivalente:

De donde:

Por tanto, la relación entre la temperatura y el volumen para un proceso adiabático está dada por la expresión:

Similarmente la relación entre la temperatura T y la presión P, se obtiene sustituyendo la ecuación  en la expresión , lo cual da:

O bien:

Que también se puede escribir como:

O bien:

De donde:

Por lo tanto, la relación entre la temperatura y la presión hará un proceso adiabático está dada por la expresión:

La velocidad de sonido.

Considérese un tubo lleno de gas para que no se tengan reflexiones un uno de los extremos. Supóngase que es un pulso que viaja en este tubo, el cual es generado cuando se da un empujón a un émbolo ajustado perfectamente en el tubo.

Este pulso viaja de izquierda a derecha en el tubo con una rapidez v a lo largo del tubo. Para analizar el movimiento del pulso se considerará que este permanece estacionario y el fluido es el que se moverá de derecha a izquierda con rapidez v,como se muestra en la figura.

Ilustración 14 Pulso que permanece estacionario con respecto al gas que se mueve de derecha a izquierda.

Considérese el movimiento de un fluido que se desplaza con rapidez v hasta que entre en la zona de compresión. Conforme cruza está zona, encuentra una diferencia de presión ΔP entre sus bordes de enfrente y posterior. Este volumen se comprime y se desacelera, de manera que su rapidez  es menor en está zona, debido a que la cantidad Δv es negativa. Conforme pasa el tiempo, este elemento de fluido sale de la cara izquierda de la zona de compresión y se expande hasta que recupera su volumen original, y la diferencia de presiones lo acelera hasta que su rapidez sea igual que la que tenía originalmente.

La fuerza resultante que actúa sobre la parte del elemento de fluido que entra en la zona de compresión apunta hacia la derecha, y su magnitud es:

Donde A es el área de la sección transversal del tubo.

La longitud del elemento de volumen que se está considerando cuando se encuentra fuera de la zona de compresión es , donde Δt es el tiempo que tarda este volumen en sobrepasar por un punto dado. Así pues, el volumen V de este elemento es:

Y su masa es:

Donde r  es la densidad del fluido exterior a la zona de compresión. La desaceleración del elemento de volumen al entrar en la zona de compresión es , y como Δv es negativa entonces a es positiva, es decir, que apunta hacia la derecha en la misma dirección que la fuerza ΔPA. De manera que, aplicando la segunda ley de Newton, , el elemento de fluido se tiene:

Lo cual se puede escribir como:

Por otra parte, como se mencionó anteriormente, el elemento de fluido tiene un volumen , se comprime a , y se obtiene:

La cantidad  se le conoce como modulo volumétrico y se representa con la letra B. De manera que:

El módulo volumétrico es positivo porque un aumento de la presión causa una disminución del volumen. En función del módulo volumétrico B, la velocidad del pulso que se mueve en el fluido es:

Ya se mencionó que el volumen volumétrico se define por la expresión
 , de manera que este depende de la forma en que cambie la presión. Si la temperatura se mantiene constante, se obtiene en el límite que:

Y como se sabe para un proceso isotérmico en un gas ideal se cumple que:

Por lo que derivando está ecuación con respecto a V se obtiene:

Esta ecuación implica que el módulo volumétrico para un proceso isotérmico es:

Sin embargo, en una onda Sonora las condiciones no son isotérmicas, como las considero Isaac Newton en 1687, por lo que cometió un error en la deducción de la expresión para la velocidad del sonido.

Actualmente, se sabe que el proceso es adiabático porque no hay gradientes de temperatura en el interior de la onda. Así pues, el módulo volumétrico que se debe utilizar es el adiabático, entonces:

Para un proceso adiabático en un gas ideal se cumple que:

, en donde

Lo cual se puede escribir también derivando con respecto a V como:

 

Combinando está ecuación las ecuaciones  y

Se obtiene:

Por lo tanto, la velocidad del sonido en un gas ideal se obtiene por medio de la expresión:

2.2.6. La equipartición de la energía.

La teoría cinética es una descripción matemática de la forma en que un gran número de partículas muy pequeñas, en rápido movimiento, se pueden manifestar macroscópicamente con las propiedades observadas de los gases. El modelo de la teoría cinética considera los siguientes aspectos:

1.        Un gas está constituido por un número grande de moléculas y la separación entre ellas es grande comparada con sus dimensiones.

2.       Las moléculas obedecen las leyes de Newton y en conjunto se mueven al azar.

3.       Las moléculas experimentan choques elásticos, ya sea entre ellas o con las paredes del recipiente.

4.       No existe interacción entre las moléculas salvo cuando chocan entre ellas.

5.       El gas considerado es una sustancia pura, es decir, todas las moléculas son iguales.

Así pues, una molécula, desde el punto de vista de esta teoría, es considerada como una esfera elástica dura, asimismo su energía cinética es puramente traslacional. La predicción del calor específico que se obtuvo es adecuada en el caso de las moléculas monoatómicas.

Pero en el caso de los calores específicos intervienen todas las formas posibles en que se puede absorber energía, de manera que, si una molécula tiene estructura interna, es decir, que no esté formada solamente por una partícula, entonces está molécula puede girar, vibrar y tener un movimiento de traslación. Así que en las colisiones con otras moléculas podrían cambiar los movimientos rotacionales y de vibración, por lo que esto contribuiría a aumentar la energía interna del gas.

De esta manera, la energía interna de un sistema que contenga muchas moléculas, todas las cuales tienen una estructura interna, será la suma de la energía cinética de traslación, de la energía cinética de rotación y de la energía cinética de vibración de los átomos de las moléculas. Utilizando la mecánica estadística se puede mostrar que cuando el número de partículas es grande y se les puede aplicar la mecánica newtoniana, entonces todos estos términos tienen el mismo valor promedio, el cual solo depende de la temperatura. Esto es que la energía disponible solamente depende de la temperatura, y se distribuye en partes iguales entra cada una de las formas mediante las cuales las moléculas pueden absorber energía.

El teorema de la equipartición de la energía establece que la energía de un sistema en equilibrio térmico se divide por igual entre todos los grados de libertad.

En los gases monoatómicos las moléculas solo tienen movimiento de traslación, ya que no tienen estructura interna. Para estos gases se encuentra que la energía cinética molecular de traslación está relacionada con la temperatura por medio de la ecuación: