Unidad 2. Actividad 3. Sólidos de revolución

Introducción:

Una función delimitada entre dos puntos puede girar alrededor del eje x o alrededor del eje y, creando lo que se llama un sólido de revolución.

El volumen del sólido de revolución creado por una función que gira alrededor del eje x se calcula con la siguiente fórmula:

Hay que tener en cuenta que los límites de integración se determinan con respecto al eje x y la función a integrar se define también en función de x, ya que integraremos con respecto a x.

Dicho de otra manera, sea una función no negativa en un intervalo cerrado [a, b]. Si se gira está región del plano alrededor de cualquiera de los ejes del plano cartesiano o de una recta del plano, a este sólido resultante se le conoce como sólido de revolución y al eje citado como eje de revolución.

El volumen de un sólido de revolución puede ser calculado por el método del disco. (Cómo calcular el volúmen de un cuerpo de revolución, 2017)

 

Desarrollo.

Desarrollo:

1.      Realiza los siguientes ejercicios.

a)      Demostrar que el volumen de cualquier cono sobre una región R de altura h es:

Encontrar la ecuación de la recta.

Se despeja la X

Sustituir la X en el radio:

 

 

 

 

b)     Un sólido tiene como base un círculo de radio r, y todas las intersecciones del sólido con planos verticales paralelos a una dirección fija son rectángulos con altura igual a la mitad de lo que mide su base. Determina su volumen.

Según la descripción debemos suponer que la base de este está en el plano , como un círculo de radio  y centro en el origen, por tanto, quedaría de la siguiente manera:

Como se ve en la figura, la longitud de la base del rectángulo que resulta al intersecar el sólido, entonces la línea marcada en la figura es la base de uno de los rectángulos que está descrito en el problema a solucionar, se observa que la línea tiene una longitud de

Su altura es la mitad de  por tanto se tiene que:

En donde el volumen se encuentra de la siguiente manera:

Conclusión:

Fue necesario hacer una investigación exhaustiva, no puedo decir que le entendí completamente a los problemas, pero trate de despejar mis dudas, espero que lo investigado haya servido para poder afianzar mis conocimientos.

Bibliografía

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beUnicoos. (s.f.). Recuperado el 15 de febrero de 2020, de https://www.beunicoos.com/matematicas/integrales-2/integral-definida-area-de-una-funcion-y-volumen-de-revolucion/volumen-de-revolucion-de-un-cono

Ekuatio. (2017). Recuperado el 14 de febrero de 2020, de https://ekuatio.com/volumen-de-un-cuerpo-de-revolucion-ejercicios-resueltos-paso-a-paso/

Fuenlabrada, S. (2007). La integración definida en el cálculo de volúmenes. En Calculo Integral (pág. 235). México: McGeawHill. Recuperado el 15 de febrero de 2020, de "C:\Users\alicia aine ramirez.000\OneDrive - Universidad Abierta y a Distancia de México\3 Semestre\Calculo integral\Calculo_integral_3ra_Edicion_Samuel_Fuen.pdf"

Universidad Autónoma Metropolitana. (s.f.). Recuperado el 15 de febrero de 2020, de http://canek.uam.mx/Integral/Cap03.Aplicaciones/3.3.Volumen/FTVolumen.pdf