Unidad 3. Actividad 1. Soluciones con la transformada de Laplace

a) y′ + 4y = e^´-4t  si y (0) = 2

 

Resolver ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace:

 

Una de las aplicaciones de la transformada de Laplace es que podemos resolver la ecuación diferencial y obtener la solución exacta siempre que tengamos valores iniciales proporcionados, luego obtener una función en los dominios utilizando los valores iniciales dados. Luego calculamos la transformada de Laplace inversa para obtener el valor de la función en el dominio t.

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación de diferenciación dada obtenemos

L[y′(t)+4y]=L[e^-4t]

L[y′(t)]+4L[y]=  

sY(s)−y(0)+4Y(s)=  

(s+4)Y(s)−(2)= y(0)=2

(s+4)Y(s)=  +2

Y(s)= 

Y(s)=

Y(s)= 

Usando la transformada inversa de Laplace obtendremos

L−1[Y(s)]=L−1 

y(t)=2L−1

=2 (e−4t)+(te−4t)

=(2+t)e−4t

Y=- +

 

 

b) y′ - y = x²e^t   si y (0) = 1

y'-y=1

Una EDO de primer orden de variables separables tiene la forma N(y)*y′=M(x)

Y:y= e^t –C_1-1

_Y= e ^{t –C1}-1

 

c) y'' + 2 y′+ y= 0 si y(0)= 2

y'' + 2 y′+ y= 0

Es un EDO homogénea lineal de segundo orden tiene la siguiente forma

Para una ecuación a y''+b y′+cy=0

Asumir la forma

Simplificando

=0

Para una raíz real

La solución forma general: y= c₁e

Y=2e^-t +c2te^-t

d)y'' - 6y' + 9 = t,  y(0)=0, y'(0)= 1

La solución al PVI y hacer coincidir las reglas con las expresiones de la columna, es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes.  

Y(S)=

Se utiliza la descomposición de fracciones parciales para acercarse a las reglas

 =  + 

(

Es un sistema lineal de ecuaciones para encontrar A,B,C.

1:1 =9BA =

  

Ys muestra la transformada inversa Laplace

Y(s) =

Y(s) =  

Y(s) =  

Para separarse se realiza (s-18)=(s-3)

Y(s) =  

Y(s) =  

La regla de transformada inversa de Laplace son la regla 1, regla 3 con n=, y regla n 23con n=

Y(t)=

Transformada inversa de Laplace

Y(t)=

Solución: Y(t)=

e) y'' – y’=e^(t)cos(t)si y(0)=y si y’ (0)=0

y'' – y’=e^t cos t

LL

L

s(s-1)L

L

L

Y=

y=

y=

y=

	y=

 

 

 

Bibliografía

Beltrán, J. C. (s.f.). Recuperado el 10 de marzo de 2021, de https://www.youtube.com/watch?v=cVBdcvcQzKU

matematicas profesor Luis Felipe. (8 de nov de 2016). Recuperado el 08 de marzo de 2021, de https://www.youtube.com/watch?v=KhXOJB82cMs