Unidad 2. Evidencia de aprendizaje. Ecuaciones diferenciales de segundo orden aplicadas

Introducción

Los modelos matemáticos simulan los procesos de transporte y dispersión de los contaminantes vertidos en medios receptores, ha experimentado un auge en las últimas décadas. Esto debido a la necesidad de estudiar o evaluar la contaminación generada por las aguas vertidas y su impacto en el medio, ya que afecta el desarrollo de las actividades humanas y, en general, la calidad del medio ambiente.

En esta ocasión analizaremos el impacto de un nuevo pesticida en el medioambiente. Ahora, nos proponemos mejorarlo en el sentido siguiente. Supongamos que inicialmente las aguas del lago ya están contaminadas con el pesticida, siendo su concentración inicial c(0) = c0. Además, el volumen del lago es constante V, lo cual significa que la cantidad de agua que entra y sale del lago es la misma. Su ritmo de entrada, el número de m3/día, es f(t), siendo ´esta una función senoidal, con un máximo de 150 m3/día y un valor mínimo de 50 m3/día. Por ejemplo,

f(t) = 100 + 50 cos(0.00172t).

Llamemos y(t) a la concentración de pesticida en el río. Si en un momento dado, los agricultores dejan de utilizar el producto, su concentración disminuirá siguiendo un modelo exponencial. Por ejemplo y(t) = 5e −0.002t

Para construir el modelo, el ritmo de cambio de la cantidad de contaminante en el lago es igual a la cantidad de contaminante que entra procedente del río menos la cantidad que abandona el lago. La cantidad de pesticida que entra por unidad de tiempo seria la siguiente función que depende del tiempo: y(t)f(t). Al mismo tiempo, si el agua se mezcla convenientemente, la cantidad de contaminante que sale por unidad de tiempo es: c(t)f(t).

Llamemos a(t) a la cantidad de contaminante en el lago en el tiempo t,

Da (t)/ dt = a' (t) = f(t)y(t) − f(t)c(t).

c(t) = a(t)/V . Es c' (t) = 1 V a' (t) = 1 V (f(t)y(t) − f(t)c(t)) , c(0) = c₀ .

Para los valores V = 10000 m3 y c0 = 5.

La ecuación diferencial c(t) = a(t)/V . Es c' (t) = 1 V a' (t) = 1 V (f(t)y(t) − f(t)c(t)) , c(0) = c₀ , trata de una ecuación lineal de método de Taylor de segundo orden, a través de:

y 0 [t] = (0.01 + 0.005 ∗Cos[0.0172 ∗ t]) ∗ (5 ∗Exp[−0.002 ∗ t] − y[t])

 a = 0.

 b = 700

 = {5.};

 h = (b − a)/n;

= [a + ih, {i, 0, n}]; dy1 = y 0 [t]; dy2 = D[y 0 [t], t]

s1[u , v ] := dy1/.{y[t] → v, t → u}

s2[u , v ] := dy2/.{y[t] → v, t → u}

[i = 2, i <= n + 1, i + +, aux = [[i − 1]] + hs1[nodo[[i − 1]], [[i − 1]]+

 (h 2/2)s2[nodo[[i − 1]], dato[[i − 1]]; [auxiliar]

[i = 2, i <= n + 1, i + +, aux =[[i − 1]] + hs1[nodo[[i − 1]], [[i − 1]]+

(h 2/2)s2[nodo[[i − 1]], dato[[i − 1]]; [aux]];

Conclusión

Como podemos observar el comportamiento es complicado que el obtenido, lo cual este nuevo modelo es más realista. Los métodos numéricos y los de simulación nos permiten modificar los parámetros del modelo para de esta manera se puede disponer de distintas estrategias a la hora de analizar el impacto de productos tóxicos en el medioambiente.

Bibliografía

Fernández Pérez C., Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones Lineales, Ediciones Pirámide, S.A., Madrid 1992.

(s.f.). Recuperado el 26 de febrero de 2021, de http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/pdf_mmb08_09/texto%20completo.pdf

http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0188-88972015000100002