Desde
la antigüedad, el ser humano comenzó a preguntarse sobre diversos aspectos de la
vida cotidiana lo que lo llevó a inventar herramientas que le permitirán medir
longitudes, ordenar y contar objetos, así como reconocer fenómenos periódicos
del naturaleza. Como resultado de este proceso, el ser humano a construido
modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concreto o que le
han ayudado a encontrar una solución al problema específico que lo afecta. Todo
esto con el propósito de favorecer tanto su forma de vida como la de los
miembros de su medio local.
Hacia
el año 1650 a. C., el sacerdote egipcio Ahmes escribió el Papiro de Rhind, que
es uno de los documentos matemáticos más antiguos. En él se encuentran los
primeros conocimientos acerca del álgebra lineal. Este documento contiene 85
problemas redactados en escritura hierática y fue concebido originalmente como
un manual práctico para los no iniciados.
Por
su parte, los babilonios sabían cómo resolver problemas concretos que involucran
ecuaciones de primer y segundo grado, completando cuadrados o por sustitución,
así como ecuaciones cúbicas, bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y
no lineales. Algunos ejemplos que se encontraron sobre dichos problemas datan
del último periodo sumerio, aproximadamente del año 2100 a.
C.
En
tanto, los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a. C., continuaron la
tradición de los babilonios y proporcionaron los primeros métodos del
pensamiento lineal. Por ejemplo, en el tratado Nueve
capítulos sobre el Arte Matemático, publicado durante la
Dinastía Han, aparece el siguiente sistema lineal.
Los
matemáticos griegos, no se preocuparon por los problemas lineales a pesar de que
poseían un reconocido pensamiento lineal. En sus trabajos se aprecian algunas
tentativas del análisis diofántico, especialmente en el estudio de las
magnitudes (libro V) y las propiedades aritméticas de los números enteros (libro
VII). Sin embargo, la solución general de la ecuación de segundo grado aparece
en los Elementos de Euclides; no obstante, dichos elementos no representaban un
pensamiento algebraico formalmente hablando, como el que se conoce en la
actualidad.
En
realidad, las formalidades algebraicas que se estudian en la matemática actual
no vieron la luz sino hasta finales del siglo XVII, con el redescubrimiento y
desarrollo de las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los
chinos, sobre el pensamiento lineal, y con la relación de la geometría y álgebra
lineal, basada en las ideas de Rene Descartes y de Pierre de Fermat. Así, hasta
el siglo XVIII el álgebra fue el arte de resolver ecuaciones de grado
arbitrario.
El
álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de
ecuaciones lineales.
En
1843, el matemático irlandés Sir William Hamilton descubrió los cuaterniones. En
1863, aparecen con Hamilton, Arthur Cayley (1821 – 1895) y Hermann Günther
Grassmann (1809 – 1877) las nociones de vector y de espacio vectorial, como una
axiomatización de la idea de “vector” que era manejada por los estudiosos de la
Mecánica desde finales del siglo XVII; este hecho represento la génesis del
cálculo vectorial y de la matemática moderna. Además, Grassmann que es
considerado el maestro del álgebra lineal, introdujo el producto geométrico y
lineal, siendo el primero de estos, equivalente al producto
lineal.
El
primero que utilizó el término “matriz” fue el matemático inglés James Joseph
Sylvester en 1850, quien definió una matriz como un arreglo cuadrilongo de
términos. Tiempo después estableció contacto con Cayley, quien rápidamente
entendió la importancia del concepto de matriz.
Uno
de los principales méritos de Cayley fue la introducción de las operaciones
básicas de suma y multiplicación de matrices, aunque indicios de estas ya
aparecían en trabajos anteriores de Euler, Lagrange y Gauss. Además, Cayley
probó que la multiplicación de matrices es asociativa, e introdujo las potencias
de una matriz, así como las matrices simétricas y
antisimétricas.
Desde
entonces, el álgebra ha evolucionado y seguido varias líneas de desarrollo; por
ejemplo, el álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica, al poner
más atención en las estructuras matemáticas. Algunos consideran el álgebra
moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan.
Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que
el álgebra es el idioma de las
matemáticas.
En
la actualidad, en forma más particular, puede decirse que el álgebra
lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como
vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y, en un enfoque más formal,
espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Esta
área de estudio se relaciona con muchas ramas dentro y fuera de las matemáticas,
tales como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de
operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
