Unidad 1. Historia del algebra lineal.

Desde la antigüedad, el ser humano comenzó a preguntarse sobre diversos aspectos de la vida cotidiana lo que lo llevó a inventar herramientas que le permitirán medir longitudes, ordenar y contar objetos, así como reconocer fenómenos periódicos del naturaleza. Como resultado de este proceso, el ser humano a construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concreto o que le han ayudado a encontrar una solución al problema específico que lo afecta. Todo esto con el propósito de favorecer tanto su forma de vida como la de los miembros de su medio local.

Hacia el año 1650 a. C., el sacerdote egipcio Ahmes escribió el Papiro de Rhind, que es uno de los documentos matemáticos más antiguos. En él se encuentran los primeros conocimientos acerca del álgebra lineal. Este documento contiene 85 problemas redactados en escritura hierática y fue concebido originalmente como un manual práctico para los no iniciados.

Por su parte, los babilonios sabían cómo resolver problemas concretos que involucran ecuaciones de primer y segundo grado, completando cuadrados o por sustitución, así como ecuaciones cúbicas, bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Algunos ejemplos que se encontraron sobre dichos problemas datan del último periodo sumerio, aproximadamente del año 2100 a. C.

En tanto, los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a. C., continuaron la tradición de los babilonios y proporcionaron los primeros métodos del pensamiento lineal. Por ejemplo, en el tratado Nueve capítulos sobre el Arte Matemático, publicado durante la Dinastía Han, aparece el siguiente sistema lineal.

Los matemáticos griegos, no se preocuparon por los problemas lineales a pesar de que poseían un reconocido pensamiento lineal. En sus trabajos se aprecian algunas tentativas del análisis diofántico, especialmente en el estudio de las magnitudes (libro V) y las propiedades aritméticas de los números enteros (libro VII). Sin embargo, la solución general de la ecuación de segundo grado aparece en los Elementos de Euclides; no obstante, dichos elementos no representaban un pensamiento algebraico formalmente hablando, como el que se conoce en la actualidad.

En realidad, las formalidades algebraicas que se estudian en la matemática actual no vieron la luz sino hasta finales del siglo XVII, con el redescubrimiento y desarrollo de las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal, y con la relación de la geometría y álgebra lineal, basada en las ideas de Rene Descartes y de Pierre de Fermat. Así, hasta el siglo XVIII el álgebra fue el arte de resolver ecuaciones de grado arbitrario.

El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.

En 1843, el matemático irlandés Sir William Hamilton descubrió los cuaterniones. En 1863, aparecen con Hamilton, Arthur Cayley (1821 – 1895) y Hermann Günther Grassmann (1809 – 1877) las nociones de vector y de espacio vectorial, como una axiomatización de la idea de “vector” que era manejada por los estudiosos de la Mecánica desde finales del siglo XVII; este hecho represento la génesis del cálculo vectorial y de la matemática moderna. Además, Grassmann que es considerado el maestro del álgebra lineal, introdujo el producto geométrico y lineal, siendo el primero de estos, equivalente al producto lineal.

El primero que utilizó el término “matriz” fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en 1850, quien definió una matriz como un arreglo cuadrilongo de términos. Tiempo después estableció contacto con Cayley, quien rápidamente entendió la importancia del concepto de matriz.

Uno de los principales méritos de Cayley fue la introducción de las operaciones básicas de suma y multiplicación de matrices, aunque indicios de estas ya aparecían en trabajos anteriores de Euler, Lagrange y Gauss. Además, Cayley probó que la multiplicación de matrices es asociativa, e introdujo las potencias de una matriz, así como las matrices simétricas y antisimétricas.

Desde entonces, el álgebra ha evolucionado y seguido varias líneas de desarrollo; por ejemplo, el álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica, al poner más atención en las estructuras matemáticas. Algunos consideran el álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

En la actualidad, en forma más particular, puede decirse que el álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y, en un enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Esta área de estudio se relaciona con muchas ramas dentro y fuera de las matemáticas, tales como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.