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viernes, 12 de julio de 2019

Movimiento con aceleración constante

Si la aceleración de una partícula es constante, entonces la aceleración promedio y la aceleración instantánea son iguales. Nótese como se representa en la siguiente gráfica:

clip_image001

Si la partícula inicialmente tiene velocidad clip_image003 en el tiempo t = 0 y velocidad clip_image005 en un tiempo clip_image007, la aceleración, de acuerdo con la definición de aceleración promedio, estaría dada por:

clip_image009

Si se despeja la velocidad de la relación anterior, se obtiene:

clip_image011

La ecuación anterior representa una línea recta con pendiente a y ordenada al origen clip_image013, como se visualiza en la siguiente gráfica:

clip_image014

Ahora, se obtendrá una expresión para encontrar la posición de la partícula en cualquier tiempo.

Recordando que la expresión para la velocidad promedio en el intervalo clip_image016, cuando la gráfica es una línea recta, es el valor medio de las velocidades en el tiempo t y t0:

clip_image018

Se sustituye el valor de V, usando la expresión:

clip_image019

Se obtiene:

clip_image021

La velocidad promedio está dada por:

clip_image023

Cuando la partícula se encuentra en la posición X en el tiempo (t), y en la posición X0 en el tiempo 0. Se despeja X.

clip_image025

Se sustituye el valor de la velocidad media

clip_image027

Reacomodando términos:

clip_image029

Para eliminar el tiempo, se despeja de la siguiente ecuación a t:

clip_image019[1]

Se obtiene:

clip_image031

De la velocidad media:

clip_image033

Se multiplica por t y se obtiene:

clip_image035

Se sustituye el valor de t:

clip_image037

Reacomodando términos:

clip_image039

Como clip_image041 la expresión anterior queda:

clip_image043

Despejando clip_image045, se obtiene:

clip_image047

Otra expresión bastante útil se obtiene al quitar la aceleración de las expresiones, de la velocidad media, cuando la velocidad de la partícula en t es V y t=0 es v0

clip_image018[1]

Sustituyendo:

clip_image049

Despejando X, y se obtiene:

clip_image051

Resumiendo, las ecuaciones que permiten modelar un movimiento con aceleración constante son:

clip_image053

 

 

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