Unidad 1. Actividad 2. Propiedades de los números reales

Resuelva la desigualdad 2x-7<4x-2 y muestre la gráfica de su conjunto solución.

2x-7<4x-2

Primero sumamos el 7 en ambos lados.

2x-7+7<4x-2+7

2x<4x+5

Luego se resta el 4x en ambos lados.

2x-4x<4x+5-4x

-2x<5

Multiplicamos en los dos lados -1 para poder invertir la desigualdad.

(-2x)(-1)>(5)(-1)

2x>-5

Luego dividimos los dos lados entre el 2 para despejar la x

(2x)/(2)>(-5)/(2)

x>-(5/2)=-2.5

Su representación gráfica sería de la siguiente manera:

Resuelva -5≤2x+6<4. Muestre la gráfica

Esta operación se resuelve por partes a≤u<b=a≤u=u<b

-5≤2x+6

Para poder resolverla cambiamos de lado el -5 a

2x+6≥-5

Restamos el 6 en los dos lados.

2x+6-6≥-5-6

2x≥-11

Se divide el 2 en ambas partes.

(2x)/(2)≥-(11)/(2)

x≥-(11)/(2)=-5.5

Se realiza la segunda operación

2x+6<4

Se resta el 6 en ambos lados.

2x+6-6<4-6

2x<-2

Se divide el 2 en ambos lados para despejar la X

(2x)/(2)<(-2)/(2)

x=-1

Quedando el resultado de la siguiente manera:

x≥-(11/2)x<-1

Su representaciòn en decimal sería así:

Resuelva la desigualdad cuadrática x²-x<6. Muestre la gráfica

x²-x<6

Se resta el seis en ambos lados.

x²-x-6<6-6

x²-x-6<0

Factorizamos

(x+2)(x+3)<0

Calculamos los signos para x+2

x+2=0

Restamos 2 en ambos lados

x+2-2=0-2

x=-2

x+2<0

Restamos 2 en ambos lados

x+2-2<0-2

x<-2

x+2>0

Restamos 2 en ambos lados

x+2-2>0-2

x>-2

Calculamos los signos para x-3

x-3=0

Sumamos 3 en ambos lados.

x-3+3=0+3

x=3

x-3<0

Sumamos 3 en ambos lados

x-3+3<0+3

x<3

x-3>0

Sumamos 3 en ambos lados 

x-3+3>0+3

x>3

Esto lo podemos ver más claramente si lo ponemos de la siguiente manera:

	x<-2	x=-2	-2<x<3	x=3	x>3
x+2	-	0	+	+	+
x-3	-	-	-	0	+
(x+2)(x-3)	+	0	-	0	+

Dando el siguiente resultado:

-2<x<3

Su representación gráfica sería así:

Resuelva 3·2-x-2>0. Muestre la gráfica.

Multiplicar 3·2=6

3·2-x-2>0

6-x-2>0

Se agrupan los términos que sean semejantes.

6-x-2>0

-x+6-2>0

Se resta 6-2=4

-x+6-2>0

-x+4>0

Se resta el 4 en ambos lados.

-x+4-4>0-4

-x>-4

Multiplicar en ambos lados por -1 para invertir la desigualdad.

-x>-4

(-x)(-1)<(-4)(-1)

x<4

Quedando su representación gráfica de la siguiente manera:

Resuelva (x+1)(x-2)2(x-3)≤0. Muestre la gráfica.

(x+1)(x-1)2(x-3)≤0

2(x+1)(x-1)(x-3)≤0

2(x²-1)(x-3)≤0

Se aplica la propiedad distributiva (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

(x²-1)(x-3)

x³-3x²-x+3

2(x³-3x²-x+3)

2x³-6x²-2x+6≤0

Dividir el 2 en ambos lados.

2x³-6x²-2x+6≤0

(2x³/2)-(6x²/2)-(2x/2)+(6/2)≤(0/2)

x³-3x²-x+3≤0

Factorizamos

x³-3x²-x+3≤0

(x³-3x)+(-x+3)

Factorizar -1 de -x+3

-x+3

-1(x-3)

-(x-3)

Factorizar x² de x³-3x²

x³-3x²

 x² (x-3)

Quedando de la siguiente manera:

 -(x-3)+x² (x-3)

Factorizar el término común x-3, quedando así:

(x-3) (x² -1)

Factorizar x² -1

(x² -1)

Reescribir 1 como 1²

                                                                                     x² -1²

^{Posteriormente aplicamos la regla del binomio al cuadrado.}

x²-1²=(x+1)(x-1)

Quedando de la siguiente manera:

(x-3)(x+1)(x-1)≤0

Calcular los signos para x-3

x-3=0

x-3+3=0+3

x=3

x-3<0

x-3+3<0+3

x<3

x-3>0

x-3+3>0+3

x>3

Calcular los signos para x+1

x+1=0

x+1-1=0-1

x=-1

x+1<0

x+1-1<0-1

x<-1

x+1>0

x+1-1>0-1

x>-1

Calcular los signos para x-1

x-1=0

x-1+1=0+1

x=1

x-1<0

x-1+1<0+1

x<1

x-1>0

x-1+1>0+1

x>1

Resumimos en una tabla para comprenderlo mejor.

	x<-1	x=-1	-1<x<1	x=1	1<x<3	x=3	x>3
x-3	-	-	-	-	-	0	+
x+1	-	0	+	+	+	+	+
x-1	-	-	-	0	+	+	+
(x-3)(x+1)(x-1)	-	0	+	0	-	0	+

El resultado se puede representar de dos maneras:

x≤-1

1≤x≤3

Su representación gráfica sería:

Referencias

Desconocido. (2019). Unidad 1. Números y Funciones. México, México: Universidad Abierta y a Distancia de México. Recuperado el 18 de julio de 2019, de "C:\Users\alicia aine ramirez.000\OneDrive - Universidad Abierta y a Distancia de México\2 Semestre\Cálculo diferencial\Unidad 1\Unidad1.Numerosrealesyfunciones.pdf"

Desconocido. (s.f.). Asesorías MQF. Obtenido de https://asesoriasmfq.wordpress.com/cursos/calculo-diferencial/u1-numeros-reales/1-5-resolucion-de-desigualdades-de-primer-grado-con-una-incognita-y-de-desigualdades-cuadraticas-con-una-incognita/

Desconocido. (s.f.). Matemáticas tuya. Obtenido de http://matematicatuya.com/DESIGUALDADES/S5.html