Introducción
Se retomo el caso anterior para resolver el modelo ecuación diferencial para dar solución de sistemas de primer orden mediante una función x(t) la cantidad de una sustancia que esté presente en un compartimento en el instante de tiempo t. El “compartimento” puede ser de cualquier tipo: un lago, un tanque de mezclas, etc. La idea básica de estos modelos está en una ley de conservación evidente: la tasa de cambio de la sustancia en el compartimento dx/dt será igual a la velocidad de entrada de la sustancia en el compartimento en el instante t menos la velocidad de salida de la misma: dx/dt = ventrada – v salida. Dado que las velocidades de entrada y salida de la sustancia en el compartimento dependen del proceso en cuestión.
El agua de un Lago se está viendo un proceso contaminante debido a la concentración de plaguicidas consecuencia de la fumigación, el río Aguadulce, que desemboca en el lago, fluye hacia este a razón de 200 l/m portando una concentración de plaguicidas de 5 partes por millón. Si se suspende la fumigación en los alrededores del lago en el momento en el que la concentración de plaguicidas había alcanzado el valor de 40 partes por millón y se supone que en dicho instante el volumen del lago es de 100 millones de litros, calcular el tiempo que transcurrirá hasta que la concentración sea inferior a 20 partes por millón. ¿Qué volumen tendrá el lago en ese instante? Nota: Suponer que el lago pierde agua a razón de 300 l/m.
Resolución: Denominaremos x(t) a la cantidad de plaguicidas presentes en el lago a tiempo t. La concentración de plaguicidas en el lago a tiempo t, que denominaremos c(t), c(t) = x(t) vol(t) donde vol(t) denota el volumen del lago en cada instante de tiempo.
Si queremos distinguir la precisión las velocidades de entrada y salida de la disolución y las correspondientes al soluto, (en este caso los plaguicidas), la velocidad de entrada de disolución en el compartimento (lago) es ventrada dis. = 200 l/m y la de salida vsalida dis. = 300 l/m, donde l denota litro de disolución. Las respectivas velocidades del soluto se obtendrán multiplicando las de la disolución por la concentración correspondiente. De esta manera, al tener la disolución entrante una concentración de 5 partes por millón (es decir 5 mg/l) tendremos: ventrada = 200 l/m 5 mg/l = 1000 mg/m. Por otro lado, el volumen vol.(t) será evidentemente: vol(t) =
Tras deshacer el cambio de la variable
x(t) = 500 (106- t) + C(106- t)3 ; c(t) = x(t) 100(106 - t)= 5 + C100(106 - t)2
Ya que para la cantidad de plaguicidas y para la concentración en el lago, se tiene en cuenta ahora la condición inicial: c(0) = 40, calcular la constante C que determina la solución que vamos a utilizar: C = 35 10-10finalmente la solución:
x(t) = 500 (106 - t) + 35 10¡10 (106 - t)3 ) c(t) = 5 + 35 10-12(106 - t)2
Grafica de x(t) (x en kilogramos, t en días) y c(t) (en mg/ml, t en días).
La ecuación: 20 = 5 + 35 10-12(106 – t1)2, nos proporciona el tiempo que tarda la concentración en descender hasta 20 partes por millón: t1 = 345346 minutos = 239:8 días. El volumen del lago en t = t1 será de 65.4 millones de litros.
Supongamos si I = 1 m3 / seg , V = 106 m3 y hay una concentración inicial de y( 0 ) = 10-3, entonces la evolución de la concentración a través del tiempo.
Conclusión
Una solución de dicho sistema es toda pareja de funciones (x(t),y(t)) que sustituidas es equivalente a un sistema de primer orden si se introducen variables se obtienen sistemas de ecuaciones diferencial.
Bibliografía
UnADM. (2021). Conceptos fundamentales y ecuaciones diferenciales de primer orden. https://campus.unadmexico.mx/contenidos/DCSBA/BLOQUE1/TA/05/TEDF/unidad_01/descargables/TEDF_U1_Con tenido.pdf
Fernández Pérez C., Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones Lineales, Ediciones Pirámide, S.A., Madrid 1992.
Ulpgc. (s.f.). Recuperado el 31 de enero de 2021, de https://www2.ulpgc.es/hege/almacen/download/32/32540/ecuacionesdiferenciales.pdf
(s.f.). Recuperado el 31 de enero de 2021, de http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/TeoriaTema3MM.pdf
