a)
Es una ecuación lineal de segundo orden homogéneo
Para
Al simplificarlo la solución queda de la siguiente manera
Resolvemos la ecuación cuadrática
,
Al aplicar la forma general.
b) Y”-4y’ +5y=0
Es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con forma.
Por lo que asumiremos una solución de
Se aplica la regla de cadena al sustituir en la ecuación
Se convierte
Lo simplificamos:
Al factorizar:
tiene la forma de y = 2 + i, y = 2 – i
la formula general para ecuaciones de segundo grado.
Para dos raíces complejas donde y1 es de y2 la solución toma forma de
por lo que
Y=
c) Y”+ 8y’ + 16 =0
Es una ecuación lineal homogénea de segunda orden de la forma
Se hace la simplificación de términos iguales, sumando los términos.
Sustituimos
Se aplica la regla de la cadena
al sustituir se obtiene
Por lo que obtenemos
Realizamos la ecuación cuadrática
y restamos 24 en ambos lados de la ecuación
ahora para calcular los valores de y sacaremos el raíz cuadrada de
,
esto será igual a
,
Ahora aplicamos la ley de los exponentes.
=
sustituimos
=
aplicamos números imaginarios
por lo que tenemos
Aplicamos ley de exponentes que sustituyendo queda como
=
Para y2 lo resolvemos,
El cual tenemos
Para dos raíces complejas donde y1 es de y2 la solución de
por lo que
Al sustituirlos en la formula obtenemos
d) Y” +3y= -48x2 e3x
Ecuación auxiliar m2 +3= 0
M=
Solución homogénea yh = c1 sen
Anulador
-48x2 e3x = (D – 3)3
(D -3)3 (D2 + 1) = (48X2 e3x ) (D-3)3
(D -3)3 (D2 +1)= 0
M= 3 ,m=3, m=3, m=
Solución general
Y= c1 sen +B e3x +C x2 e3x
Solución homogénea
Yp= x2 e3x
Y’p=3 B
+3Bx
+2Cx
+3Cx
Y”p= 9+6Cx
6Cx
+ 9CX2
Y”p= 9
Reemplazo ecuación: (9
+3(
9
-Asen(x) – Bcos(x) +6C
+2C)=0
12ª +6B +2C=0
X
X2 12C = -48
3. C=
DE 2. 12B + 12C, B= -C, B=4
C= -4 Y B= 4 en 1
12 A= -6B – 2C, 12A= -24+8
12A= -16, A= -
Solución
Y= C1 sen ( cos (
e) y” - 4y =
Educación diferencial no homogénea de Segundo orden lineal con coeficientes
Solución general: a(x) y” +b(x) y’+c(x) y= g(x)
Hallar yh resolviendo y’’ -4y= 0: y=c1e2x + c2e+2x
yc = Ce^(2x) + De^(-2x) ;
Variación de parámetros Considerando las dos funciones:
y₁ = e^(-2x) ; y₁' = - 2e^(-2x)
y₂ = e^(2x) ; y₂' = 2e^(2x)
El Wronskiano: W = y₁ y₂' - y₂ y₁' = 2 + 2 = 4;
Si no es cero, las dos funciones son independientes. Entonces la solución particular es: yp = - y₁ ∫ y₂ g dx / W + y₂ ∫ y₁ g dx / W ; (i)
La solución general y = yc + yp .
Resolviendo (i) :
I = - y₁ ∫ y₂ g dx / W = - e^(-2x) ∫ e^(2x)e^(2x) dx / 4x = - e^(-2x)∫ e^(4x) dx / 4x ;
y₂ ∫ y₁ g dx / W = e^(2x) ∫ e^(-2x)e^(2x) dx / 4x = e^(2x) ∫ dx / 4x = (1/4) e^(2x) lnx ;
Resultado y= c1e2x + c2e-2x +
f) y” -2y + 5y =cos(2x)
Es una ecuación lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes.
Para
Para resolvemos
Concusión
Me confundí un poco durante la realización del primer problema no sabía cómo aplicarlo y aún tengo la duda si lo hice correcto, los conceptos de estos problemas fueron vistos en algebra lineal, como podemos ver las ecuaciones diferenciales tienen relación en distintas ramas, donde se van aplicando los conocimientos obtenidos para la resolución de este tipo de ecuaciones.
Bibliografía
Eucacion Diferencial. (s.f.). Recuperado el 24 de FEBRERO de 2021, de https://www.youtube.com/watch?v=TwyN7UU6jaI
matefacil. (s.f.). Recuperado el 24 de febrero de 2021, de https://www.youtube.com/watch?v=q3PKNySW6LQ
Ulpgc. (s.f.). Recuperado el 31 de enero de 2021, de https://www2.ulpgc.es/hege/almacen/download/32/32540/ecuacionesdiferenciales.pdf
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