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martes, 23 de febrero de 2021

Unidad 2. Actividad 3. Solución de ecuaciones de segundo orden

a) clip_image002[2]

Es una ecuación lineal de segundo orden homogéneo clip_image004

Para  clip_image006

Al simplificarlo la solución queda de la siguiente manera clip_image008

Resolvemos la ecuación cuadrática  clip_image010

clip_image012

clip_image014  ,    clip_image016  

Al aplicar la forma general.

clip_image018

clip_image020

b)  Y”-4y’ +5y=0

Es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con forma.

clip_image004[1]

Por lo que asumiremos una solución de clip_image022

Se aplica la regla de cadena clip_image024 al sustituir en la ecuación clip_image026

Se convierte   clip_image028

Lo simplificamos: clip_image030

Al factorizar: clip_image032

tiene la forma de y = 2 + i, y = 2 – i

la formula general para ecuaciones de segundo grado.

clip_image034

clip_image036

Para dos raíces complejas donde y1 es clip_image038 de y2 la solución toma forma de clip_image040 por lo que

clip_image042

Y= clip_image044

 

c) Y”+ 8y’ + 16 =0

Es una ecuación lineal homogénea de segunda orden de la forma clip_image046

Se hace la simplificación de términos iguales, sumando los términos.

clip_image048

Sustituimos  clip_image050

clip_image052

 

Se aplica la regla de la cadena clip_image054

clip_image056 al sustituir se obtiene clip_image058 clip_image060

 

clip_image062

clip_image064

 

Por lo que obtenemos

 

clip_image066

Realizamos la ecuación cuadrática

clip_image068  y restamos 24 en ambos lados de la ecuación

clip_image070 ahora para calcular los valores de y sacaremos el raíz cuadrada de clip_image072 

clip_image074  ,  clip_image076 esto será igual a

clip_image078  ,  clip_image080

Ahora aplicamos la ley de los exponentes.

 

clip_image082 = clip_image084    sustituimos clip_image086 = clip_image088    aplicamos números imaginarios clip_image090  por lo que tenemos clip_image092

clip_image094

Aplicamos ley de exponentes  clip_image096 que sustituyendo queda como

clip_image098 = clip_image100

 

clip_image102

Para y2 lo resolvemos,  clip_image080[1]

El cual tenemos

clip_image104

Para dos raíces complejas donde y1 es clip_image038[1] de y2 la solución de clip_image040[1] por lo que clip_image106 

Al sustituirlos en la formula obtenemos

clip_image108 

clip_image110

d)  Y” +3y= -48x2 e3x

Ecuación auxiliar  m2 +3= 0

M= clip_image112

Solución homogénea yh = c1 sen  clip_image114

Anulador

-48x2 e3x = (D – 3)3

(D -3)3 (D2 + 1) = (48X2 e3x ) (D-3)3

(D -3)3 (D2 +1)= 0

M= 3 ,m=3, m=3, m=clip_image112[1]

Solución general

Y= c1 sen clip_image116 +B e3x +C x2 e3x

Solución homogénea

Yp= clip_image118 x2 e3x

Y’p=3clip_image120 Bclip_image122  +3Bxclip_image122[1] +2Cxclip_image122[2]+3Cxclip_image124

Y”p= 9clip_image126+6Cxclip_image1286Cxclip_image130+ 9CX2clip_image122[3]

Y”p= 9clip_image132

Reemplazo ecuación: (9clip_image134

                                                 +3(clip_image136

9clip_image138

-Asen(x) – Bcos(x) +6Cclip_image140

clip_image142+2C)=0 clip_image144 12ª +6B +2C=0

Xclip_image146

X2 clip_image148 12C = -48

3. C= clip_image150

DE 2. 12B + 12C,  B= -C,  B=4

C= -4 Y B= 4 en 1

12 A= -6B – 2C, 12A= -24+8

12A= -16, A= -clip_image152

Solución

Y= C1 sen (clip_image154 cos (clip_image156

clip_image158

e) y” - 4y =clip_image160

Educación diferencial no homogénea de Segundo orden lineal con coeficientes

Solución general: a(x) y” +b(x) y’+c(x) y= g(x)

Hallar yh resolviendo y’’ -4y= 0: y=c1e2x + c2e+2x

yc = Ce^(2x) + De^(-2x) ;

Variación de parámetros Considerando las dos funciones:

y₁ = e^(-2x) ; y₁' = - 2e^(-2x)

y₂ = e^(2x) ; y₂' = 2e^(2x)

El Wronskiano: W = y₁ y₂' - y₂ y₁' = 2 + 2 = 4;

Si no es cero, las dos funciones son independientes. Entonces la solución particular es: yp = - y₁ ∫ y₂ g dx / W + y₂ ∫ y₁ g dx / W ; (i)

La solución general y = yc + yp .

Resolviendo (i) :

I = - y₁ ∫ y₂ g dx / W = - e^(-2x) ∫ e^(2x)e^(2x) dx / 4x = - e^(-2x)∫ e^(4x) dx / 4x ;

y₂ ∫ y₁ g dx / W = e^(2x) ∫ e^(-2x)e^(2x) dx / 4x = e^(2x) ∫ dx / 4x = (1/4) e^(2x) lnx ;

Resultado y= c1e2x + c2e-2x + clip_image162

 

f) y” -2y + 5y =cos(2x)clip_image164

Es una ecuación lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. clip_image166

Para clip_image168 clip_image170

clip_image172

clip_image174

clip_image176

Para clip_image178 resolvemos clip_image180

clip_image182


 

Concusión

Me confundí un poco durante la realización del primer problema no sabía cómo aplicarlo y aún tengo la duda si lo hice correcto, los conceptos de estos problemas fueron vistos en algebra lineal, como podemos ver las ecuaciones diferenciales tienen relación en distintas ramas, donde se van aplicando los conocimientos obtenidos para la resolución de este tipo de ecuaciones.

 

 

 

 

Bibliografía

Eucacion Diferencial. (s.f.). Recuperado el 24 de FEBRERO de 2021, de https://www.youtube.com/watch?v=TwyN7UU6jaI

matefacil. (s.f.). Recuperado el 24 de febrero de 2021, de https://www.youtube.com/watch?v=q3PKNySW6LQ

Ulpgc. (s.f.). Recuperado el 31 de enero de 2021, de https://www2.ulpgc.es/hege/almacen/download/32/32540/ecuacionesdiferenciales.pdf

matefacil. (s.f.). Recuperado el 24 de febrero de 2021, de https://www.youtube.com/watch?v=q3PKNySW6LQ



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