La transformada de Laplace y series Fourier
El concepto matemático transformada de Fourier es una de las herramientas más útiles para el estudio y el tratamiento de múltiples ecuaciones en derivadas parciales, ya que desempeña un papel análogo al de la transformada de Laplace en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias, permitiendo simplificaciones en las ecuaciones toda vez que contribuye a transformar derivadas en potencias, operadores diferenciales en polinomios, el papel que la transformada de Fourier juega en el terreno de las aplicaciones, fundamentalmente en teoría de la señal, teoría cuántica de campos, tomografía y tratamiento y digitalización de imágenes.
La transformación es un concepto utilizado para resolver problemas complejos de una manera más simple. Por ejemplo:
Si desea calcular el producto P = a.b de dos números reales a y b. Aplicando logaritmos se tiene:
logP = loga+ logb
Ya que de manera que si a y b tienen muchas cifras es probable que sea sencillo y rápido trabajar con sus logaritmos que con las variables, la base de construcción y utilización de las reglas de cálculo de las calculadoras, facilitando su diseño, pueden ser representados por ecuaciones integro-diferenciales o bien mediante una ecuación integral de convolución, la transformación de Laplace, las primeras quedan convertidas en meras ecuaciones algebraicas y las segundas en un sencillo producto de funciones de variable compleja.
Es una herramienta muy utilizada en diferentes campos de la ciencia, como son las Series de Fourier y la Transformada de Fourier. Una de estas transformaciones es el desarrollo en serie de Fourier, que sirve para analizar funciones periódicas en el tiempo en el dominio de la frecuencia, cuando se cumplen una serie de condiciones.
Una función periódica f(t), de periodo T, acotada en un intervalo que tiene un número finito de máximos y mínimos, así como un número finito de puntos de discontinuidad en un periodo cualquiera, puede ser representada por una serie de Fourier de la siguiente forma:
siendo ω0 = y
Cuando la función f(t) posee determinadas propiedades de simetría los coeficientes Ak y Bk se simplifican.
La serie de Fourier puede escribirse también en forma de suma de cosenos:
En esta segunda forma la serie de Fourier aparece como una suma de funciones coseno, determinadas por su frecuencia kω0, su amplitud ak y su fase φk. Según este desarrollo, a la función temporal f(t) corresponde una función espectral en el dominio frecuencial, caracterizada por un espectro de amplitudes ak y un espectro de fases φk.
Una tercera variante es la denominada compleja o exponencial, que se obtiene de las ecuaciones de Euler:
Aplicando estas transformaciones a la función f(t) se obtiene:
Se puede poner:
Una serie de Fourier se aplica a funciones periódicas, lo que ayuda en el estudio de sistemas de diferentes tipos (eléctricos, mecánicos, etc.) sometidos a un estímulo de tipo periódico, en los sistemas de control las funciones más utilizadas no son periódicas sino aperiódicas (un pulso, impulso, etc.) y para todas ellas no es aplicable el desarrollo en serie de Fourier, realizando una pequeña modificación se podrán estudiar numerosas funciones aperiódicas con la denominada transformada de Fourier.
Si queremos transformar la función no periódica representada en la Figura 2.2 .a. Una función de este tipo puede considerarse como uno de los pulsos pertenecientes al tren de pulsos de la Figura 2.1 .a, en el cual sin variar la duración τ del pulso se ha hecho tender el periodo T a infinito. En tales condiciones se puede utilizar el desarrollo en serie de Fourier de f(t), bajo la condición de que el periodo T tienda a infinito, con lo que la separación entre las componentes espectrales ω0 = 2π∕T tenderá a cero. Ck se convierte así en una función continua. Y por lo tanto la noción de espectro de frecuencia se convierte en una densidad espectral de frecuencia Ck∕ω0.
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Realizando los cálculos se obtiene la expresión de Ck para la función f(t) anterior:
C = M τsin-(k-ω0τ∕2) τ < T k kω0τ∕2
En la Figura 2.1 .b se ha representado Ck en función de la frecuencia. La envolvente de Ck es una curva de la forma sinx∕x (la función sinc) y la distancia entre las líneas del espectro es ω0 = 2π∕T. En este ejemplo Ck es un número real para todo k, por tanto Ck coincide con el espectro de amplitudes y el ángulo de fase es nulo para todas las frecuencias.
Ejemplo de transformada de Laplace
Cuerda semiinfinita
El objetivo es encontrar el desplazamiento w(x,t)de una cuerda elástica sujeta en estas condiciones
La cuerda esta inicialmente en reposo sobre eje x desde X=0 hasta ∞ cuerda infinita
Para el tiempo t>0, el extremo izquierdo de la cuerda se mueve en forma senoidal
W(0,t)= f(t)=
w(X,t)=0 para t
El modelo solo describe una cuerda larga de peso ya que con su extremo derecho muy lejos, a lo largo del eje x
Solución: la ecuación de onda se resuelve =
Conclusión
Las series de Fourier y la transformada de Laplace son dos de las herramientas matemáticas más utilizada para resolver y comprender fenómenos por ejemplo las series de Fourier es examinar y determinar las condiciones bajo las cuales una función periódica puede ser descrita como una combinación lineal de las condiciones bajo las cuales una función elemental de seno y coseno.
Y la transformada de Laplace ayuda a simplificar el proceso para resolver problemas con valores iníciales para ciertas ecuaciones diferenciales más generales que resuelven por series de Fourier.
Bibliografía
ECUACIONES DIFERENCIALES SERIES DE FOURIER. (s.f.). Recuperado el 13 de marzo de 2021, de https://www.ugr.es/~jllopez/Cap2-Fourier.pdf
BEERENDS, R. TERMORSCHE,H. VAN DEN BERG, J VAN DE VRIE, E. Fourier and Laplsce Transforms Cambridge Press. Cambrige. 2003. Pag 60-122;253-330
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http://www4.ujaen.es/~jmalmira/transformada_fourier_almira.pdf
