Unidad 1. Vectores.

¿sabías que…?

El matemático irlandés Sir William Hamilton (1805 – 1865) inicio el estudio de vectores; él deseaba encontrar una forma de representar ciertos objetos en el plano y en el espacio, lo que llevo a descubrir los cuaterniones. Este concepto condujo al desarrollo de lo que actualmente se llaman vectores.

Lord Kelvin dijo que los cuaterniones, “aun cuando son bellamente ingeniosos, han sido un mal peculiar para todos aquellos que los han manejado de alguna manera, y los vectores… nunca han sido de la menor utilidad para ninguna creatura”.

Sin embargo, Kelvin estaba equivocado, hoy en día, casi todas la ramas de la física clásica y moderna se representan por medio del lenguaje de vectores. Estos también se usan cada día más en las ciencias biológicas y sociales.

En diferentes libros se encuentra el concepto de vector; en la mayoría de ellos se representa con una línea que apunta hacia alguna parte. En diferentes áreas de las ciencias se utilizan los vectores para facilitar la información que se tiene de algún fenómeno, proyecto o situación que se plantea, debido a que ofrece la información de manera general y ordenada, podría decirse que es un símbolo general que facilita la representación de un problema.

Cabe mencionar que existen diferentes métodos para resolver problemas, evitando el uso de los vectores; sin embargo, este enseña a representar la información de manera ordenada, general y simple, en muchos de los casos.

Se ha hecho uso de los vectores sin que se den cuenta: al ver una señal en la carretera en la cual se muestra una flecha, al ver los juegos de video cuyos controles indican diferentes direcciones para moverse, al ver correr el agua en una pendiente y, en fin, en varias situaciones más, así como algunas de sus características más importantes.

Conceptos básicos.

Uno de los conceptos básicos más importantes en matemáticas es el del vector, por medio de un vector se puede ubicar un lugar en el que se encuentra un avión, un barco, un automóvil, etc. Para determinar la ubicación de cada uno de ellos, es necesario, conocer la distancia, la dirección y el sentido.

Definición geométrica de un valor.

El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos, equivalentes a un segmento de recta dirigido se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto, se conoce como una representación del vector.

Entonces, un vector tiene muchas representaciones, dependiendo del lugar donde se ubique su punto inicial, tal y como lo muestra la siguiente figura, donde aparecen varias representaciones del mismo vector.

Definición algebraica de vector.

Un vector (V) en el plano coordenado, es un par ordenado de números reales (a, b). los números a y b se llaman elementos o componentes del vector.

Las partes que componen un vector son:

·         Punto inicial: es el punto del plano en donde se inicia o parte el vector.

·         Punto final: es el punto del plano en donde finaliza el vector.

·         Magnitud: es la longitud o tamaño del vector.

·         Dirección: está formada por la línea que se sigua para ir desde el punto inicial hasta el punto final.

·         Sentido: es el lugar hacia donde apunta el vector, puede ser arriba, abajo, izquierda, derecha, etc.

Magnitud y dirección de un vector.

Para obtener la magnitud de un vector (que se representa como ׀ν׀), cuyas coordenadas del punto inicial son (a, b) y las coordenadas del punto fina (c, d), se traza el vector en el plano cartesiano. De esta manera, se puede conocer la magnitud del vector, tal como y se muestra en la figura.

Primero se ubican los puntos inicial y final del vector, que en este caso son (a, b) y (c, d); después, se traza la semirrecta l paralela al eje X que pase por el punto (a, b) y se traza la recta m paralela al eje y que pase por el punto (c, d). Al punto de intersección de ambas rectas se llamará Q. Como se puede observar, se ha formado un triángulo rectángulo con vértices en (a, b), (c, d) y Q.

A partir del triángulo se pueden conocer los valores de sus lados paralelos a los ejes coordenados, tal y como se muestra en la siguiente figura.

Entonces, el lado horizontal del triángulo tiene una longitud de c – a y el lado vertical tiene una longitud de d – b. Con esto, se puede utilizar el teorema de Pitágoras y encontrar la longitud de la hipotenusa del triángulo, la hipotenusa estará dada por:

La magnitud del vector con punto inicial en (a, b) y punto final en (c, d) es:

Se ha calculado la magnitud de un vector con extremos en (a, b) y (c, d).

Basándonos en el ejemplo del cálculo de la magnitud de un vector, se puede aclarar los siguientes puntos:

·         Los vectores tienen un punto inicial y un punto final.

·         Las coordenadas de un vector están dadas por las coordenadas del punto final menos las coordenadas de un punto inicial.

·         La magnitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Los vectores tienen un punto inicial y un punto final. Este punto ha quedado claro, ya que los vectores esta delimitados por sus extremos que son dos puntos, en este caso, del plano.

Las coordenadas de un vector están dadas por las coordenadas del punto final menos las coordenadas de un punto inicial. Este punto da las coordenadas del vector; en el ejemplo para calcular la magnitud de un vector, el punto final del vector tiene coordenadas (c, d) y el punto inicial tiene coordenadas (a, b); de esta manera las coordenadas del vector son (c - a, d - b).

La magnitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. El último punto indica que la magnitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas; de acuerdo con el ejemplo, estará representado como:

La justificación del resultado, ya se ha demostrado.

Cuando el punto inicial del vector es el (0,0) y el punto final es (a, b), la magnitud está dada por:

Dirección de un vector.

Se define la dirección de un vector v= (a, b) como el ángulo q, medido en radianes que forma el vector con el lado positivo del eje X.

Para encontrar el ángulo de un vector, se utilizan cuatro casos diferentes, ya que un vector puede estar ubicado en cualquiera de los cuatro cuadrantes que tiene el plano cartesiano. De acuerdo con el cuadrante en el que se encuentre las componentes del vector, serán positivas, negativas o combinadas.

Caso 1.

Sea el vector (a, b) con a>0 y b<0, se elige el ángulo q = ɸ>0.

Cuando el vector se encuentra en el primer cuadrante, el ángulo q es igual a:

Caso 2.

Si a<0 y b>0, se elige ɸ = -q>0

Caso 3.

Si a<0 y b<0, se elige ɸ = +q>0

Caso 4.

Si a>0 y b<0, se elige ɸ = 2-q>0

Ejemplo:

Calcula la dirección y el sentido que tiene el vector V= (3, -6).

Para calcular la dirección, se debe encontrar el valor del ángulo que tiene el vector con respecto al eje X positivo; para ello, se aplica la fórmula:

Primero se calcula el valor del ángulo q,

De esta manera, se tiene:

Despejando:

Sustituyendo en la fórmula:

Por tanto, se tiene que la dirección de vector con coordenadas (3, -6) es aproximadamente de unos 296.565 grados y su sentido es hacia la derecha y hacia abajo, tal como lo puedes observar en la figura.

Vectores en el plano y el espacio.

Los vectores se utilizan en casi todas las situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, en un plano: si se busca la casa de un amigo en una ciudad desconocida se pregunta a una persona como llegar a la dirección que se busca, podría contestar: caminen 500m en línea recta; con esta información no sería suficiente para que se encontrara la casa, ya que se puede caminar 500m en al menos dos direcciones distintas.

Preguntando de nuevo a la misma persona hacía que dirección se debe dirigir, dirá: caminen 500m en línea recta por esta calle hace ese lado, con esta información, la persona informante está dando un vector, sin darse cuenta de tal acontecimiento; tomando las instrucciones y llegando a la dirección correspondiente; esto es un claro ejemplo en el cual cotidianamente se utilizan los vectores en un plano.

Vectores en el plano.

Se le llama vectores en el plano, a todos aquellos vectores que se encuentran en ℝ² o bien, a aquellos que se representan únicamente con dos coordenadas o componentes, por ejemplo, v= (a, b).

Los vectores en el espacio, también se aplican en el entorno, debido a que el mundo tiene tres dimensiones. Por ejemplo, se retoma la situación en la cual se busca un amigo en una ciudad desconocida, una vez que se llega a la dirección deseada se encuentran frente a un edificio de 20 pisos, en este caso, se sabe que van a caminar hacia el edificio y que su amigo vive en el quinto piso, en el departamento que se encuentre hacia su derecha. Esta es la manera en la que se representan los vectores en el espacio, ya que además de indicar lo mismo que el vector en el plano, también indican un dato más, en este caso, la altura.

Vectores en el espacio.

Se le llaman vectores en el espacio a todos aquellos vectores que se encuentran en ℝ³ o bien, a aquellos vectores que se representan utilizando tres coordenadas o componentes, por ejemplo, el vector w= (a, b, c).

Vectores unitarios.

Un vector unitario es un vector cuya magnitud es igual a 1.

Ejemplo:

El vector:

Es un vector unitario, ya que:

Observa lo siguiente:

Sea u= (a, b) un vector unitario, entonces:

Lo cual significa que:

Por esta razón, se puede representar a u por un punto en el circulo unitario, tal y como se muestra en la figura.

Si q es la dirección de u, entonces, a=senq y b=cosq, de esta manera, se puede representar al vector u= (a, b) como:

Recordando las identidades trigonométricas, se tiene que:

Lo cual indica, que la magnitud de 1 no se ha modificado al hacer la sustitución de las funciones de seno y coseno por a y b.

Sea v un vector, entonces, el vector u con magnitud igual a la unidad y con la misma dirección de v, está dado por:

 

Para cualquier vector, se puede encontrar otro vector que tenga la misma dirección que el primero y cuya magnitud sea igual a 1.

Ejemplo:

Sea v= (3,4) un vector; encuentra un vector que tenga la misma dirección que V y cuya magnitud sea 1.

Solución.

Sea u el vector buscado; para poder encontrar el vector unitario que tenga la misma dirección que V, se realiza la división:

Y se tiene lo siguiente:

Entonces, el vector unitario que tiene la misma dirección que V es:

Se puede verificar su magnitud, esto es:

La dirección del vector V está dada por:

Mientras que la dirección de u está dada por:

Y como se puede observar, tanq = tanα

Por lo tanto, u y v tienen la misma dirección.

Componentes de un vector: horizontal y vertical.

Existen dos vectores en el plano, los cuales permiten obtener a todos los demás; dichos vectores son el (1,0), representado por i y el vector (0,1), representado por j. Así, v= (a, b) es un vector del plano, entonces, se puede escribir (a, b) de la siguiente manera:

También se puede escribir a v como:

Con esta representación, se dice que V está en términos de sus componentes rectangulares.

Los vectores unitarios i y j tienen las siguientes propiedades:

I.                     Ninguno de ellos es el múltiple de otro vector.

II.                   Cualquier vector se puede escribir en términos de i y j, tal y como se hizo con V en la ecuación anterior.

Igualdad de vectores.

Se explicará que dos vectores son iguales, únicamente cuando todos sus componentes sean iguales entre sí, es decir, para que los vectores u= (a, b, c) y v= (d, e, f) sean iguales, entonces, a=d, b=e, c=f.

Los vectores: u= (2,3,-5) y v= (2,-3,-5) son vectores distintos, debido a que el signo de la segunda coordenada de u es diferente de la segunda coordenada de v, por lo cual, no se puede decir que los vectores sean los mismos.

Si bien es cierto que dos vectores necesitan tener las mismas coordenadas para ser iguales, a pesar de esto, dos vectores pueden tener diferentes extremos y ser iguales, por ejemplo:

Sean M= (3,5) y N= (2,-1) el punto inicial y final de un vector y sean P= (6,2) y Q= (5,-4) el punto inicial y final de otro vector. Demostrar si los vectores son iguales o no.

Para ello, se encuentra el vector que inicia en M y termina en N y se representa por:

 

Tal y como se muestra a continuación:

Por otra parte, se encuentra el vector que inicia en P y termina en Q, al cual se representa por:

De la siguiente manera:

Dado que las coordenadas de ambos vectores son iguales, entonces: