Movimiento bidimensional: circular y tiro parabólico

Este tema trata del movimiento, pero ahora es en dos dimensiones. La herramienta matemática que auxiliara son los vectores. Se presenta que las ecuaciones para una dimensión que pueden utilizar de manera general al sustituir la variable unidimensional con el vector que le corresponde. Observa la siguiente gráfica:

La posición de la partícula esta representada por el vector r, la velocidad por el vector V y la aceleración por el vector a. Las componentes cartesianas del vector serian:

Donde i, j y k son los vectores unitarios en la dirección x, y y z respectivamente. Si la partícula se mueve de la posición r₁ a la posición r₂ en el tiempo t₁ al t₂, el desplazamiento será el vector . Visualizalo en la siguiente gráfica:

El intervalo de tiempo sería:

La velocidad promedio en ese intervalo:

La velocidad instantánea será el límite cuando el intervalo de tiempo  se aproxime a cero de la velocidad promedio.

La velocidad instantánea será tangencial en cualquier punto de la trayectoria del movimiento de la partícula y se represente como la derivada del vector r con respecto al tiempo:

Las componentes del vector velocidad, serian:

De donde se obtiene:

De igual forma se define a la aceleración promedio:

Y la aceleración instantánea, que es el límite de la aceleración promedio cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero:

Que se representa como la derivada del vector V con respecto al tiempo.

Cuyos componentes serian:

Tanto la aceleración como la velocidad son magnitudes vectoriales porque tienen dirección y magnitud. Si una de estas características cambia, existirá un cambio en la velocidad o en la aceleración, aunque su magnitud no lo haga.

Cuando el movimiento de una partícula tiene aceleración constante, el vector aceleración (a) no cambia ni en dirección ni en magnitud, en este caso las componentes del vector son constantes.

La partícula tendría entonces una posición y velocidad inicial dadas por los vectores

La velocidad, para una aceleración constante, en analogía con el movimiento unidimensional, sería:

Cuyas componentes escalares estarían dadas por:

De la misma manera, las ecuaciones vectoriales que representan el movimiento con aceleración constan en dos o más dimensiones serian:

Tiro parabólico.

Observa con atención las siguientes imágenes y analiza la información que se te presenta.

Ilustración 1 Se muestra la trayectoria, el sistema de coordenadas y la partícula.	Se estudia el movimiento de un proyectil que es lanzado con una velocidad inicial v. En este caso, la aceleración debido a la gravedad es constante. Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable y no será considerada en esta descripción.
Ilustración 2 Se agrega el vector V y sus componentes. La componente del vector en x es de tamaño constante; la componente y va disminuyendo conforme el proyectil sube hasta llevar a desaparecer cuando esta en la parte más elevada. Cuando inicia el descenso, la magnitud de la componente comienza a aumentar.	La aceleración es g y esta dirigida hacia abajo, de acuerdo con el sistema de coordenadas. El vector de velocidad V, tendría dos componentes, vx y vy, ya que el movimiento esta sobre el plano xy
	La velocidad v0 en t=0, tiene las componentes: Como no hay una componente horizontal de la aceleración, la velocidad en x es constante durante el recorrido: La componente vertical cambia con el tiempo debido a la aceleración de la gravedad: Donde:
Ilustración 3Se muestra el valor de x y y durante la trayectoria	La magnitud del vector velocidad en cualquier instante es: Y el ángulo en ese instante estaría dado por: La coordenada de x con x0=0 y ax=0 sería: La coordenada y, con y0=0 y a=-g, es:
	Si se despeja el tiempo (t) de las ecuaciones x y y, e iguala y despeja y, se obtiene: Que es la ecuación de una parábola. El alcance R horizontal del proyectil lo obtiene cuando y=0, al resolver la ecuación de segundo grado para x, se obtiene el alcance: Y como: Entonces el alcance sería:

Movimiento circular.

Observa con atención las figuras y analiza la información que se te presenta.

En el movimiento circular se examinará el caso en el que la partícula se mueve en una trayectoria circular a “velocidad constante”. La velocidad y la aceleración son constantes en magnitud, pero cambian en dirección continuamente. No existe una componente de la aceleración paralela a la trayectoria, de otra manera cambiaria la velocidad en magnitud; el vector aceleración es perpendicular a la trayectoria y apunta hacia el centro del movimiento circular. Ejemplos de este fenómeno: el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, los planetas girando en torno al Sol, el giro de los discos compactos, los ventiladores, etc.. Ilustración 4 En la gráfica se muestra un planeta moviéndose en torno al Sol.
Ilustración 5 Planeta alrededor del Sol. Se observa el vector posición r, el punto de identificación P1 y p2, el vector velocidad para cada punto, el ángulo se forman el centro C en el Sol	Observa que al pasar un planeta de la posición p1 en el tiempo t1 a la posición p2, en el tiempo t2=t1+Δt, forma un ángulo q entre ambos vectores con magnitud igual, pero dirección diferente. La longitud de la trayectoria entre p1 y p2, ambos vectores con magnitud igual, pero dirección diferente. La longitud de la trayectoria entre p1 y p2 en el tiempo Δt sería el arco descrito por rq, pero también es igual a vΔt, es decir:
	Si se colocan los orígenes del vector velocidad de los puntos p1 y p2 de tal manera que coincidan y conserven la misma dirección, se tendría un triángulo semejante al que forman el vector r y los puntos p1 y p. Trazando una bisectriz en el triángulo formado por v1, v2 y O, se obtiene para uno de los triángulos rectángulos así formados: La velocidad promedio, usando los datos anteriores sería: La aceleración instantánea sería: Como el sinq/2»q/2 cuando el ángulo q es muy pequeño, lo que sucede al ser Δt muy pequeño, el cociente: Es igual a 1, por lo que se obtiene:
Ilustración 6 El planeta gira alrededor del Sol, se muestran los vectores V y a	La dirección del vector aceleración siempre es perpendicular al vector velocidad y apunta hacia el centro del circulo. Por esta razón se le llama aceleración radial o centrípeta. Aunque la magnitud de la velocidad no cambia, si lo hace si dirección debido a la aceleración centrípeta, por lo que el vector velocidad no es lo mismo en cada punto de la trayectoria debido al cambio de dirección. Al tiempo (t) requerido para que la partícula de una vuelta completa se le llama periodo, tiempo en el cual la partícula recorre una distancia , donde r es el radio de la circunferencia, la velocidad estaría dada por: