Unidad 1. Actividad 2. Reconocimiento de modelos de ecuaciones diferenciales de primer orden

Introducción

Las ecuaciones diferenciales son una parte importante en las matemáticas ya que moderan innumerables procesos de la vida real es una variable y sus derivadas sucesivas permite estudiar las características de los sistemas que describen procesos y disciplinas.

Existen modelos básicos de análisis, este se describe mediante una función x(t) la cantidad de una sustancia que esté presente en un compartimento en el instante de tiempo t. El “compartimento” puede ser de cualquier tipo: un lago, un tanque de mezclas, etc. La idea básica de estos modelos está en una ley de conservación evidente: la tasa de cambio de la sustancia en el compartimento dx/dt será igual a la velocidad de entrada de la sustancia en el compartimento en el instante t menos la velocidad de salida de la misma: dx/dt = v entrada – v salida. Dado que las velocidades de entrada y salida de la sustancia en el compartimento dependen del proceso en cuestión.

Problema

El agua de un Lago se está viendo un proceso contaminante debido a la concentración de plaguicidas consecuencia de la fumigación, el río Aguadulce, que desemboca en el lago, fluye hacia este a razón de 200 l/m portando una concentración de plaguicidas de 5 partes por millón. Si se suspende la fumigación en los alrededores del lago en el momento en el que la concentración de plaguicidas había alcanzado el valor de 40 partes por millón y se supone que en dicho instante el volumen del lago es de 100 millones de litros, calcular el tiempo que transcurrirá hasta que la concentración sea inferior a 20 partes por millón. ¿Qué volumen tendrá el lago en ese instante? Nota: Suponer que el lago pierde agua a razón de 300 l/m.

Resolución:

Denominaremos x(t) a la cantidad de plaguicidas presentes en el lago a tiempo t. La concentración de plaguicidas en el lago a tiempo t, que denominaremos c(t), c(t) = x(t) vol(t)  donde vol(t) denota el volumen del lago en cada instante de tiempo.

Si queremos distinguir la precisión las velocidades de entrada y salida de la disolución y las correspondientes al soluto, (en este caso los plaguicidas), la velocidad de entrada de disolución en el compartimento (lago) es ventrada dis. = 200 l/m y la de salida v salida dis. = 300 l/m, donde l denota litro de disolución. Las respectivas velocidades del soluto se obtendrán multiplicando las de la disolución por la concentración correspondiente. De esta manera, al tener la disolución entrante una concentración de 5 partes por millón (es decir 5 mg/l) tendremos: ventrada = 200 l/m 5 mg/l = 1000 mg/m. Por otro lado, el volumen vol.(t) será evidentemente: vol(t) =

No supe si terminar hasta ahí la ecuación o continuar, de manera general esta es la resolución típica de un problema de análisis, Si se dispone de varios compartimentos interconectados el planteamiento es similar pero se obtienen sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Bibliografía

Fernández Pérez C., Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones Lineales, Ediciones Pirámide, S.A., Madrid 1992.

Ulpgc. (s.f.). Recuperado el 31 de enero de 2021, de https://www2.ulpgc.es/hege/almacen/download/32/32540/ecuacionesdiferenciales.pdf

(s.f.). Recuperado el 31 de enero de 2021, de http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/TeoriaTema3MM.pdf