Tecnología ambiental UNADMX: Unidad 1. 1. Conceptos fundamentales y definiciones

Dentro del campo de las energías renovables, pueden ser observados distintos tipos de procesos o fenómenos.

La palabra fenómeno proviene del latín phaenomenon y, de acuerdo a la Real Academia de la Lengua Española, hace referencia a “toda manifestación que se hace presente a la consciencia de un sujeto y aparece como objeto de su percepción”.

Una forma de clasificar los fenómenos es en físicos y químicos. Los primeros son manifestaciones en los que se efectúa algún proceso sin que las sustancias involucradas presenten un cambio en sus propiedades inherentes. Esto quiere decir que no cambia su naturaleza. Los fenómenos químicos, por su parte, son todo lo contrario: las sustancias cambian para formar otras de diferente naturaleza. Podría decirse que un fenómeno físico es aquel que envuelve las propiedades físicas de materia y energía, y puede ser, por ejemplo, eléctricos, atmosféricos, acústicos, mecánicos y ópticos, por mencionar algunos.

Según Cárdenas, R. D., la manera de estudiar los fenómenos denominados como físicos es por medio de un proceso que inicia con la observación, para posteriormente describir la manifestación observada y así establecer, finalmente un modelo que puede ser válido por la forma en que se comporta la manifestación. Para lograrlo, se utilizan herramientas de análisis la matemática y la física.

Ilustración 1 Proceso de estudio de fenómenos físicos.

Relacionado con lo anterior, un modelo es la manera de representar, parcialmente o en su totalidad, características de relevancia de otra cosa, expresando simplificadamente y de forma general a ese fenómeno como una manifestación abstracta de su realidad.

Los modelos pueden clasificarse en prescriptivos (normativos) y descriptivos. Los primeros son utilizados como pauta de actuación al dar criterios normativos. Por ejemplo, el método científico, que se trata de un modelo para solucionar problemáticas; y el método inductivo, modelo empleado para la demostración de las características de los números naturales. Los modelos descriptivos son llamados de esta manera porque permiten la descripción de la realidad por medio de ellos, lo que facilita conoce como se comportan los sistemas, y siendo ejemplo de ellos modelos macroeconómicos, financieros y productivos.

A la vez, los modelos pueden ser clasificados en concretos y abstractos por la forma en la que se aproximan a la realidad. Los concretos son resultado de un modelado físico que presenta propiedades similares o exactas de la realidad modelada. Algunos ejemplos serían los prototipos de objetos, a tamaño natural o escala, con un comportamiento similar al que tendría la manifestación modelada. Por otro lado, los modelos abstractos, a diferencia de los concretos, carecen de similitud física respecto a la manifestación representada. Estos pueden ser matemáticos o analógicos. Los analógicos incluyen una serie de relaciones por medio de elementos diferentes a los originales, pero presentan una analogía con los mismos. Algunos ejemplos son los termómetros, gráficas, altímetros, diagramas y representaciones por medio de imágenes. Los modelos matemáticos hacen uso de la matemática al mostrar la relación entre elementos y pueden representarse por variables, números, operadores y otros símbolos, lo que los vuelve intangibles por su naturaleza.

Los modelos matemáticos pueden ser clasificados en determinísticos y en probabilísticos (estocásticos). Los determinísticos son los modelos en los que los datos han sido determinados. En los probabilísticos, por otro lado, existen elementos desconocidos y cuyo desconocimiento tendrá que considerarse al momento de modelar.

Los beneficios de utilizar un modelo es que brinda elementos para analizar de forma lógica un fenómeno, lo que obliga a determinar el objetivo a conseguir y a identificar los elementos pertinentes de incluir. De la misma manera, ayuda a expresar en términos cuantificables las variables a tomar en cuenta, mostrando su interacción y estableciendo las restricciones sobre las cuales funciona.

Para construir modelos matemáticos, Stewart, J., propone tres pasos:

1. Estudiar el contexto del fenómeno real para comprenderlo por medio de investigación, análisis y abstracción.

2. Formular una representación selectiva del fenómeno identificando y refinando sus entradas, llamadas variables exógenas, y que pueden ser variables de decisión (elementos controlables) o parámetros (variables sobre las que no se tiene control directo), y sus salidas, llamadas variables endógenas, que pueden ser medidas de desempeño y variables de consecuencia.

3. Construir simbólicamente y analizar el modelo.

Como un ejemplo de los modelos matemáticos, al estudiar los fenómenos físicos en una gran cantidad de ellos pueden encontrarse ecuaciones diferenciales que para resolverse requieren el uso de series, que podrían ser trigonométricas y con la siguiente estructura:

1. 1. 1. La ecuación diferencial

De acuerdo con James Stewart “una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas son iguales”.

Para representar una ecuación se establece una nomenclatura del tipo:

Expresión_matemática_1 = Expresión_matemática_2

Si se habla de ecuaciones diferenciales, se habla entonces de igualdades entre expresiones matemáticas diferenciales, o, en otras palabras, que tienen diferencias o variaciones.

Expresión_matemática_diferencial_1 = Expresión_matemática_diferencial_2

De manera formal, y en este respecto, muchos autores han desarrollado capítulos enteros dedicados a la ecuación diferencial, y de una forma sintetizada y simple coinciden en que puede definirse como la que tiene diferenciales o derivadas. Son estas ecuaciones diferenciales las que se utilizan como lenguaje para representar los fenómenos y la realidad cambiante, en movimiento, que se presentan como símbolos que permiten sintetizar la información que tiene variación en el tiempo y su razón de cambio.

Se conoce por razón de cambio a la tasa de variación entre un elemento con respecto a otro. Una ecuación diferencial es muy posible que aparezca cuando un modelo represente está variación. Al encontrar está característica en modelos de sistemas de diversos tipos, tomando en cuenta que los fenómenos se encuentran en realidades cambiantes, que pueden ser psicológicos, poblacionales, operativos, médicos, biológicos y de ciencias físicas, por mencionar algunos: La aplicabilidad de las ecuaciones diferenciales es muy grande.

Una ecuación diferencial puede ser escrita en diversas formas, dependiendo de algunas de sus características, pero como componentes básico se encontraran variables dependientes e independientes (1), posiblemente presentes en combinaciones de notaciones matemáticas, la diferenciación, notada por una o varias comillas simples o por una o precediendo a las variables (2), una igualdad, al seguir la manera de representar ecuaciones (3), coeficientes (4) y posiblemente algunos operadores adicionales que darán mayor precisión al modelo del fenómeno representado (5).

Ejemplos de lo anterior pueden encontrarse en las siguientes ecuaciones diferenciales:

Ilustración 2 Ejemplo de elementos de una ecuación diferencial.

1. 1. 2. Orden, grado y otros conceptos.

De acuerdo con Carmona, I. y Filio, E., las ecuaciones diferenciales pueden ser clasificadas principalmente por su orden, grado y tipo.

El orden de una ecuación diferencial se determina por el de la derivada más alta existente en ella y puede ser hasta un orden n.

El grado de una ecuación diferencial se establece por el exponente de la derivada más alta cuando está en su forma polinomial y, al igual que el orden, su grado puede ser tan grande como el sistema modelado lo establezca.

La forma polinomial de una ecuación es aquella en donde únicamente tiene restas, sumas y productos, que pueden incluir potencias con exponentes enteros positivos o cero, para la variable dependiente y sus derivadas. Para evitar confusiones, no es de importancia lo que ocurra en la variable independiente o sus exponentes, ya que nuestra variable de interés es la dependiente.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales en su forma polinomial son:

Para ser aún más claros, una ecuación diferencial en su forma polinomial no debe contener exponentes negativos o en fracciones para sus variables dependientes o derivadas; ni logaritmos, funciones hiperbólicas o hiperbólicas inversas, trigonométricas o trigonométricas inversas, ni funciones exponenciales que tengan por argumento a las variables dependientes o sus derivadas.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales que no están en su forma polinomial son:

Poner las ecuaciones en forma polinomial muchas veces puede ser logrado al utilizar el álgebra.

Por última, una ecuación puede ser del tipo ordinaria o parcial.

Una ecuación diferencial ordinaria presenta derivadas de variables dependientes con relación a solamente una variable independiente, esto es, no tiene derivadas parciales. La ecuación tiene solo una variable independiente. La forma de escribirla puede ser de manera implícita o explicita, normal o diferencial.

La forma implícita de una ecuación diferencial ordinaria, o EDO por sus iniciales, puede ser representada así, y es llamada de esta manera por no tener a y’ despejada:

La manera normal tiene la siguiente forma:

Si despejamos a y’, entonces se dice que es la forma explícita:

Y recordando que se puede expresar el diferencial de una función como:

Si y , suponiendo se tiene la forma diferencial.

Una ecuación diferencial parciales la que tiene derivadas parciales de variables dependientes con relación a más de una variable independiente. Esto quiere decir que la ecuación tiene más de una variable independiente. Esto quiere decir que la ecuación tiene más de una variable independiente, lo que genera la aparición de derivadas parciales.

Para poner un ejemplo, supón que se tiene la siguiente ecuación:

La cual es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y grado n.

Ilustración 3 Clasificación de las ecuaciones diferenciales por orden, grado, tipo y linealidad.

Ahora bien, se conoce como solución de una ecuación diferencial a la función que la satisface sin contener derivadas de ningún tipo.

Se dice que la solución es general cuando la función encontrada (sin derivadas presentes) tiene constantes arbitrarias como resultado de las integraciones que fueron necesarias para resolver la ecuación diferencial.

Se dice que la solución es particular cuando las constantes dejan de ser arbitrarias y presentan valores específicos.

Una solución es explicita en un intervalo si en este satisface la ecuación para toda al sustituir por la variable dependiente y la función . Esto se cumple para las expresiones en forma general de ecuaciones de orden siguientes y :

Que también puede ser escrita, si se despeja el elemento de mayor orden, de la siguiente forma:

Los autores dicen que una solución es implícita para las ecuaciones y en si en el intervalo establece una o varias soluciones explicitas.

Se dice que una solución existe y es única cuando, suponiendo que y tienen continuidad en el intervalo cualquiera en el cual se encuentra el punto , se tiene una única solución en el intervalo para cualquier selección del valor inicial .

Esto es:

En donde:

1. 1. 3. Soluciones de ecuaciones diferenciales en fenómenos físicos.

Para resolver una ecuación diferencial hay algunos autores que sugieren, primero, identificarla y posteriormente, integrarla, y en caso de que sea necesario, previo a su integración hacer cambios de variable o transformar la ecuación a integrales más familiares.

Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial:

Para resolverla, de acuerdo a lo mencionado, se detecta que es una ecuación ordinaria lineal de primer orden de grado uno. Se procede entonces a despejar la variable dependiente para transformar la ecuación a una forma en la que se pueda alinearla a integrales conocidas.

Se integra de ambos lados

Lo que resulta en lo siguiente

Para comprobarlo, se pueden derivar ambos lados de la función resultante, observando que una vez aplicado queda como en su forma inicial.

Lo anterior es cierto y funciona como una solución para la ecuación descrita, pero para dar aplicación a las ecuaciones diferenciales, el inicio de la resolución inicia desde aún más atrás hasta llegar a su origen: el modelado.

Edwards y Penney comentan al respecto que estudiar ecuaciones diferenciales tiene como sus metas más importantes identificar el modelo matemático que representa una situación física; encontrar su solución exacta o aproximada e interpretarla. Ellos ponen como ejemplo de lo anterior leyes que describen fenómenos físicos y que pueden ser expresadas con ecuaciones diferenciales.

La ley de enfriamiento de Newton dice que el cambio de temperatura de un cuerpo en cierto tiempo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente. Para modelar lo anterior, se identifican los elementos del sistema descrito:

· Temperatura del cuerpo (T)

· Tiempo (t)

· Temperatura del medio ambiente (A)

· Proporción de la relación (k)

De acuerdo a la ley, se tendría lo siguiente:

Si se establecen los valores de la proporción y de la temperatura ambiente se puede determinar una fórmula que permitirá calcular la temperatura que va a tener el cuerpo ante las condiciones dadas. Si la temperatura del cuerpo es mayor a la del ambiente, es menor a cero, lo que significa que el cuerpo se enfría ante estas función decreciente. Caso contrario, si la temperatura del cuerpo es menor a la ambiental, es mayor a cero, por lo que se puede predecir que el cuerpo se está calentando.

De forma similar, se tiene la ley de Torricelli, que determina que la tasa de variación de un volumen de agua en un tanque que se está vaciando con respecto al tiempo será proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del agua en el tanque.

Se identifican los elementos del sistema descrito:

· Volumen de agua (V)

· Tiempo (t)

· Proporción de la relación (k)

· Profundidad o altura (y)

De acuerdo a la ley, la forma de relacionar los elementos sería la siguiente:

La variación del volumen de agua con respecto al tiempo se representa con los símbolo que simbolizan variación.

La ley indica que existe una proporción, que se ha simbolizado con una , con respecto a la raíz cuadrada de la profundidad.

Al establecer la igualdad de la ecuación se tiene entonces que:

Se ha modelado la ley con ecuaciones diferenciales, pero se puede incluso ir más allá al incluir la forma del tanque. El tanque puede tomar forma cubica, cilíndrica, etc. Para el ejemplo se piensa en un tanque con forma cilíndrica. Se sabe que el volumen de un cilindro puede calcularse por el área de su base, que se llama “A”, y por la altura, a la que se está representando con una “y”. Con estos símbolos, el volumen se representa de la siguiente forma:

Sise deriva con respecto al tiempo de ambos lados para ver la tasa de variación, la representación se transforma de la siguiente manera:

Como el área del tanque no varía,

Al sustituir la variación volumétrica en el modelo matemático diferencial que se realizó de la ley de Torricelli,

Tras reacomodar los elementos:

Para simplificarla más, se sabe que al ser y constantes, será una constante también, y se puede representar con

1. 1. 4. Problemas con valor inicial.

Los problemas con valor inicial son aquellos en donde las ecuaciones diferenciales se presentan con ciertas condiciones establecidas de inicio para el fenómeno modelado, resultando de esta manera en soluciones particulares al resolverlos. Para resolverlos, se hace el tratamiento que se indicó en el subtema anterior, pero incluyendo la condición inicial.

Supón un fenómeno físico representable por el siguiente modelo:

En el que se ha detectado que cuando la variable es igual a uno, la variable es igual a 2.

Como otro ejemplo que te permitirá reforzar tu conocimiento, se presenta un fenómeno físico representable por el siguiente modelo:

En este fenómeno, se supondrá que cuando la variable independiente (que pudiera ser, por ejemplo, el tiempo ) que tiene el valor de 0, la variable dependiente tiene un valor de 4 unidades, cualesquiera que sean estas.