Aplicación de transformada de Laplace en un caso de estudio calidad de agua
La transformada de Laplace es un método de ecuaciones diferenciales que puede ser utilizado dentro del ámbito ambiental para calcular el comportamiento de la concentración de oxígeno disuelto (OD) en un río, en régimen estacionario, tomando en consideración la respiración microbiana (DBO) la finalidad es saber la calidad del agua.
En el estado de Sonora los cuerpos de agua son de vital importancia sobre todo para los procesos ecosistémicos de las regiones que los custodian como es el caso de las regiones serranas donde encontramos ríos, represas y presas que son fuente vital que incluye servicios como la regulación de temperatura, el lavado de los suelos la cobertura, vegetal y la biodiversidad para cientos de comunidades en el estado.
El método aplicado será la transformada de Laplace, ya que se observan ventajas reduce una ecuación diferencial a un problema algebraico, y lo aplicaremos al tratamiento de aguas residuales por ser un sistema controlado donde podemos tener un control de las variables que se involucran en el proceso, ya que para calcular la concentración de OD en efluente contaminado con materia orgánica.
En una ciudad se tira a un rio 1.15m3/s de aguas negras que tienen un DBO DE 29mg/L y 1.7 mg/L de OD de la descarga del rio tiene un flujo de 7.5 m3/s y una velocidad de 0.5 m/s. en el punto de descarga la DBO Y OD en el rio son de 3.6 y 7.6 mg/L el valor de saturación de OD a la temperatura del rio es 8.5mg/L el coeficiente de desoxigenación k es 0.61 1 /día y el coeficiente de aireación k, es 0.76 1/día deberá calcular el OD 10km aguas abajo.
Se utilizara la conservación de masa que sirve para estudiar el OD en un rio en caso unidimensional, el balanceo de masa se expresa:
Tomando en consideración las reacciones químicas entre la reaireación de la atmosfera y el uso del oxigeno en el sistema.
Velocidad de reaireación = kr D
El uso del oxigeno del sistema microbiana, se le llama desoxigenación y es proporcional a la DBO.
Tasa de desoxigenación = kdLoe-kdt
La transformada de Laplace L es una aplicación lineal.
L f(t) dt
La transformada de Laplace L es una aplicación lineal
L CL
L
Donde A y B son espacios vectoriales y c es una constante perteneciente a una ecuación diferencial
Aplicando la transformada de Laplace
L= L
Usando la propiedad lineal
L=
El termino de lado derecho se transforma usando el primer termino de lado derecho es la ecuación. L
Sf(s)- DO =
Despejando F(s)
F(s)=
La ecuación diferencial en el espacio de Laplace ya que el déficit de oxígeno, y asi aplicamos la transformada inversa
+
Al sumar las fracciones se obtiene
Al comparar se concluye
A=
F(s) =
Una vez aplicada la transformada inversa de Laplace
D(t) =
Si utilizamos la propiedad linealidad
D(t) =
D(t) =
El comportamiento del OD como función del tiempo el modelo streeter phelps se desarrolló para estudiar la contaminación en el rio de Ohio.
Kr = 0.61 = 0.76
El cálculo de la DBO y el OD cuando se mezclan en el rio y las aguas negras, se usara el principio de la conservación de la materia y la masa de DBO y de OD que entran en el rio son iguales a la masa de salida DBO Y OD.
QOD= Q1 OD1 + Q2 OD2
QLO = Q1 L1 + Q2 L2
Donde Q, LO y OD son el volumétrico de salida DBO y el OD de la mezcla.
OD=
LO=
LO= 6.97 mg/L,OD= 6.89 mg/L para el cálculo del déficit de OD de la mezcla es:
DO= ODsat –OD= 1.68
El déficit de oxígeno 10 km abajo del rio mediante el modelo de streeter- phelps se sustituyen los valores
D= 2.56
El OD a 10 km abajo el rio OD = 5.94
El comportamiento de OD con respecto al tiempo se aprecia en OD disminuye hasta llegar a un mínimo y aumenta hasta llegar a un mínimo y después aumenta hasta llegar a 8.5mg/L oxigeno de saturación.
Para calcular el mínimo derivamos la ecuación a la posición, la igualamos a cero, y obtenemos el punto afectado debido a la contaminación 50km de la fuente con un OD= 2.26mg/L
tmin= in
Xmin= in
F(t)= L-1 F(s)= L-1
F(n)(t)
Sn F(s)-sn-1 f(0)- …-f(n-1)(0)
Conclusión
La transformada de Laplace es un método para a solución de ecuaciones diferenciales relacionado con la calidad de agua, la problemática a tratar fue bajo el principio de conservación de la materia, por medio del cual se obtuvo una ecuación diferencial parcial, esta fue resuelta al aplicar el método de la transformada de Laplace, los resultados demuestran el comportamiento del OD y su demanda biológica en sistemas naturales se identificó una zona de descomposición con baja concentración de OD y una zona de recuperación, este es un método eficiente para determinar la calidad del agua.
Bibliografía
Guzmán, V. (s.f.). www. uaq.mx. Recuperado el 16 de Marzo de 2021, de https://www.uaq.mx/ingenieria/publicaciones/eure-uaq/n12/en1208.pdf
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www.academia. (s.f.). Recuperado el 16 de Marzo de 2021, de https://www.academia.edu/15551235/Una_aplicaci%C3%B3n_de_la_transformada_de_Laplace_en_el_estudio_de_la_calidad_del_agua
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