Mostrando las entradas con la etiqueta TEDF_U3_EA_. Mostrar todas las entradas
Mostrando las entradas con la etiqueta TEDF_U3_EA_. Mostrar todas las entradas

martes, 16 de marzo de 2021

Unidad 3. Evidencia de aprendizaje. Transformada de Laplace y series de Fourier aplicadas

Aplicación de transformada de Laplace en un caso de estudio calidad de agua

La transformada de Laplace es un método de ecuaciones diferenciales que puede ser utilizado dentro del ámbito ambiental para calcular el comportamiento de la concentración de oxígeno disuelto (OD) en un río, en régimen estacionario, tomando en consideración la respiración microbiana (DBO) la finalidad es saber la calidad del agua.

En el estado de Sonora los cuerpos de agua son de vital importancia sobre todo para los procesos ecosistémicos de las regiones que los custodian como es el caso de las regiones serranas donde encontramos ríos, represas y presas que son fuente vital que incluye servicios como la regulación de temperatura, el lavado de los suelos la cobertura, vegetal y la biodiversidad para cientos de comunidades en el estado.

El método aplicado será la transformada de Laplace, ya que se observan ventajas reduce una ecuación diferencial a un problema algebraico, y lo aplicaremos al tratamiento de aguas residuales por ser un sistema controlado donde podemos tener un control de las variables que se involucran en el proceso, ya que para calcular la concentración de OD en efluente contaminado con materia orgánica.

En una ciudad se tira a un rio 1.15m3/s de aguas negras que tienen un DBO DE 29mg/L y 1.7 mg/L de OD de la descarga del rio tiene un flujo de 7.5 m3/s y una velocidad de 0.5 m/s. en el punto de descarga la DBO Y OD en el rio son de 3.6 y 7.6 mg/L  el valor de saturación de OD a la temperatura del rio es 8.5mg/L el coeficiente de desoxigenación k es 0.61 1 /día y el coeficiente de aireación k, es 0.76 1/día deberá calcular el OD 10km aguas abajo.

Se utilizara la conservación de masa que sirve para estudiar el OD en un rio en caso unidimensional, el balanceo de masa se expresa:

clip_image002

Tomando en consideración las reacciones químicas entre la reaireación de la atmosfera y el uso del oxigeno en el sistema.

Velocidad de reaireación = kr D

El uso del oxigeno del sistema microbiana, se le llama desoxigenación y es proporcional a la DBO.

Tasa de desoxigenación = kdLoe-kdt

La transformada de Laplace  L es una aplicación lineal.

Lclip_image004 f(t) dt

La transformada de Laplace L es una aplicación lineal

Lclip_image006 CLclip_image008

Lclip_image010

Donde A y B son espacios vectoriales y c es una constante perteneciente a una ecuación diferencial

clip_image012

Aplicando la transformada de Laplace

Lclip_image014= Lclip_image016

Usando la propiedad lineal

Lclip_image014[1]=clip_image018

El termino de lado derecho se transforma usando el primer termino de lado derecho es la ecuación. Lclip_image020 

Sf(s)- DO = clip_image022

Despejando F(s)

F(s)= clip_image024

La ecuación diferencial en el espacio de Laplace ya que el déficit de oxígeno, y asi aplicamos la transformada inversa

clip_image026 + clip_image028

Al sumar las fracciones se obtiene

clip_image030

Al comparar se concluye

A= clip_image032

clip_image034

F(s) = clip_image036

Una vez aplicada la transformada inversa de Laplace

D(t) = clip_image038 clip_image040 clip_image042

Si utilizamos la propiedad linealidad

D(t) = clip_image044

D(t) = clip_image046 clip_image048

El comportamiento del OD como función del tiempo el modelo streeter phelps se desarrolló para estudiar la contaminación en el rio de Ohio.

Kr = 0.61 clip_image050 = 0.76 clip_image052

El cálculo de la DBO y el OD cuando se mezclan en el rio y las aguas negras, se usara el principio de la conservación de la materia y la masa de DBO y de OD que entran en el rio son iguales a la masa de salida DBO Y OD.

QOD= Q1 OD1 + Q2 OD2

QLO = Q1 L1 + Q2 L2

Donde Q, LO y OD son el volumétrico de salida DBO  y el OD de la mezcla.

OD= clip_image054

LO= clip_image056

LO= 6.97 mg/L,OD= 6.89 mg/L para el cálculo del déficit de OD de la mezcla es:

DO= ODsat –OD= 1.68 clip_image058

El déficit de oxígeno 10 km abajo del rio mediante el modelo de streeter- phelps se sustituyen los valores

D= 2.56 clip_image058[1]

El OD a 10 km abajo el rio  OD = 5.94 clip_image058[2]

El comportamiento de OD con respecto al tiempo se aprecia en OD disminuye hasta llegar a un mínimo y aumenta hasta llegar a un mínimo y después aumenta hasta llegar a 8.5mg/L oxigeno de saturación.

clip_image060clip_image062

Para calcular el mínimo derivamos la ecuación a la posición, la igualamos a cero, y obtenemos el punto afectado debido a la contaminación 50km de la fuente con un OD= 2.26mg/L

tmin= clip_image064 in clip_image066

Xmin= clip_image068 inclip_image066[1]

F(t)= L-1 clip_image070          F(s)= L-1 clip_image072      

clip_image074                                     clip_image076

F(n)(t)                              clip_image078

                                      Sn F(s)-sn-1 f(0)- …-f(n-1)(0)

 

Conclusión

La transformada de Laplace es un método para a solución de ecuaciones diferenciales relacionado con la calidad de agua,  la problemática a tratar fue bajo el principio de conservación de la materia, por medio del cual se obtuvo una ecuación diferencial parcial, esta fue resuelta al aplicar el método de la transformada de Laplace, los resultados demuestran el comportamiento del OD y su demanda biológica en sistemas naturales se identificó una zona de descomposición con baja concentración de OD y una zona de recuperación, este es un método eficiente para determinar la calidad del agua.

Bibliografía

Guzmán, V. (s.f.). www. uaq.mx. Recuperado el 16 de Marzo de 2021, de https://www.uaq.mx/ingenieria/publicaciones/eure-uaq/n12/en1208.pdf

transformada de laplace. (8 de enero de 2008). Recuperado el 16 de marzo de 2021, de http://www.dmae.upct.es/~jose/varcomp/ctrans.pdf

www.academia. (s.f.). Recuperado el 16 de Marzo de 2021, de https://www.academia.edu/15551235/Una_aplicaci%C3%B3n_de_la_transformada_de_Laplace_en_el_estudio_de_la_calidad_del_agua

Unidad 2. 1. Antecedentes normativos en suelos

  Es importante conocer los sistemas normativos con respecto a la contaminación del suelo, dado que son estos los que regulan los límit...