Unidad 1. 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

 

Las ecuaciones diferenciales de primer orden tienen en su variable dependiente únicamente primeras derivadas. Para resolverlas, pueden ser utilizadas diferentes técnicas:

·         Por medio de la separación de variables.

·         Utilizando los conceptos de ecuación lineal y factor integrante como par fundamental en los siguientes pasos:

1.   Poner la ecuación diferencial de la siguiente forma:

En la forma:

2.   Identificar  y determinar el factor integrante.

3.   Multiplicar la forma estándar por el factor integrante.

4.   Integrar los dos lados de la ecuación resultante del punto anterior.

·         Mediante una sustitución de variables que veras en la manera de resolver ecuaciones con forma de la de Lagrange, Clairaut y Bernoulli.

·         Pueden ser usados otra gran diversidad de métodos, como el de Euler como una técnica numérica, procedimientos cualitativos como los campos de pendientes, el método de series de Taylor y el método de Picard.

1. 2. 1. Variables separables y reducibles

Se dice que una ecuación diferencial  es de variables separables si está puede expresarse como:

Esto significa que puede ser reescrita para que las variables y sus respectivos diferenciales queden en lados opuestos de la ecuación.

Nagle, Saff y Snider definen a la ecuación separable de la siguiente manera:

Si para

Su lado derecho puede ser expresado como una función  tal que únicamente depende de , por una función  que solamente tiene dependencia de , la ecuación se considera separable.

El método de resolución es el siguiente:

Si se tiene la ecuación:

Tal que

Se multiplica ambos lados por  y por  donde , resultando

Se integran, entonces, los dos lados de la ecuación

Quedando:

Si se unen las constantes para simplificar la lectura, se tendría como forma final:

Bernoulli formalizo el método explicito, denominado “separación de variables”, en el año 1694, pero tres años antes Leibniz descubrió implícitamente la forma de hacerlo.

Para poner un ejemplo, se tiene la ecuación siguiente:

Si se factoriza

Una vez hecho esto, se pondrá de cada lado de la ecuación las variables con sus respectivas diferenciales.

Para resolverla lo único que se debe hacer es integrar

Al solucionar la integral, se tiene el resultado de la ecuación que se redujo utilizando el método de variables separables.

1. 2. 2. Ecuaciones exactas, no exactas y factor integrante.

Para entender el concepto de una ecuación exacta, se debe saber lo que es el diferencial total.

El diferencial total de una función puede explicarse de la siguiente forma, si se tiene una función  que es igual a una variable , que al modelarla quedaría de la siguiente forma:

Si se diferencia de ambos lados, su diferencial total sería.

Suponiendo que las derivadas tienen continuidad en una región del plano .

Se reescribe

Y se toma , entonces se puede expresar la ecuación como

Está igualdad, expresada por la ecuación anterior, se considera como una ecuación diferencial exacta.

Si como ya se había planteado, se tiene:

         y           

Y se derivan estas igualdades con respecto a la otra, se tiene:

Por el teorema de igualdad de derivadas parciales mixtas continuas

A este se le conoce como el criterio de exactitud, y dice que la igualdad anterior es la condición necesaria y suficiente para que sea exacta la ecuación diferencial.

El método para solucionar ecuaciones diferenciales exactas es el siguiente:

1.   Se debe de aplicar la definición.

 o

2.   Se hace una integración respecto a alguna de las dos variables

 o

3.    Se hace una derivación del resultado respecto a alguna de las dos variables.

 o

4.   Se hace una igualación del resultado a N o a M

 o

5.   Se integra de nuevo la ecuación.

Es posible encontrar algún factor que al multiplicar una ecuación no exacta la convierta en exacta, facilitando su resolución con el método anterior. Dicho de otra forma, se conoce como factor de integración para una ecuación diferencial  a un factor  que haga que la siguiente ecuación sea exacta:

Pueden existir varios factores de integración para una ecuación diferencial no exacta.

Para encontrar el factor integrador , pueden ser utilizados varios método, entre los cuales se encuentran los siguientes:

1.   Se puede suponer una función al inspeccionar la ecuación diferencial dada probándola con el criterio de exactitud visto antes.

2.   Si se encuentra que el factor es únicamente , se encuentra haciendo

3.   Si se encuentra que el factor es únicamente , se encuentra haciendo

1. 2. 3. Ecuaciones lineales.

Decir que una ecuación es lineal se debe a una forma de clasificación de las ecuaciones diferenciales de su grado. Esto es, las ecuaciones lineales tienen su variable dependiente, generalmente notada por , y a todas sus derivadas en grado 1. Para ellas se cumple también que cada coeficiente de la variable dependiente  y sus derivadas dependen de únicamente la variable independiente, generalmente notada por . Las ecuaciones no lineales, por su parte, son las que no tienen las características anteriormente enunciadas.

En otras palabras, y como ya se había mencionado antes, una ecuación diferencial ordinaria es lineal cuando la función es lineal en la variable dependiente y en todas sus derivadas, esto es:

 es lineal para  si

Para identificar si una ecuación es lineal se pueden revisar dos condiciones:

a)   y sus derivadas son de primer grado

b)    Los coeficientes de  dependen solo de la variable independiente.

Al escribir una ecuación diferencial, puede hacerse en su forma estándar, la forma estándar es aquella en donde la ecuación no tiene su primer coeficiente, lo cual resulta de dividir los dos lados de la ecuación entre este.

Un ejemplo de la forma estándar de una ecuación lineal es:

Para resolverla, si  se hace por variables separables; en caso contrario, se puede hacer por la técnica del factor de integración, o por la de variación de parámetros.

La técnica de variación de parámetros consiste en cambiar variables o funciones por algunas más fáciles para resolver la ecuación.

Al observar está última técnica desde la forma de resolver expuesta por Carmona y Filio:

Se sabe que

Es una solución general de la ecuación lineal homogénea

Para encontrar la solución de la ecuación lineal no homogénea

Se varían los parámetros

Así, se tiene que

Es una solución de la ecuación si se puede determinar una  que la satisfaga.

Si se deriva

Y se sustituye en la homogénea, al igual que el valor de

Reacomodando y factorizando

Al ser  la solución de la ecuación homogénea, todo el paréntesis se hace 0. Queda:

Despejando:

Si se integra en ambos lados para resolverla

Para que  pueda existir,  debe ser diferente de 0, por lo que  será entonces la solución para la ecuación lineal no homogénea y, sustituyendo por los valores encontrados, quedara:

O lo que es lo mismo por álgebra

1. 2. 4. Ecuaciones de Bernoulli, Lagrange y Clairaut

Las ecuaciones de Bernoulli, Lagrange y Clairaut son ejemplos de ecuaciones diferenciales que tienen formas definidas, por lo que resulta de interés el mostrarte lo relacionado a ellas y la forma de resolverlas.

Ecuación de Bernoulli.

La ecuación de Bernoulli tiene la siguiente forma:

F(x) y r(x) son reales y tienen continuidad en un intervalo entre dos puntos, que algunos autores consideran como [a, b].

Si n es igual a 0 o 1 entonces puede ser resuelta por medio de separación de la ecuación o de igual forma que las ecuaciones lineales, respectivamente.

La ecuación recibe sus nombre debido a que fue propuesta por James Bernoulli para ser solucionada en 1695. John Bernoulli, su hermano, la resolvió, y un año después de su publicación Gottfried Leibniz hizo la demostración de cómo puede ser reducida a una ecuación simple lineal con el primer método que se presenta a continuación.

Para resolverla se puede hacer uso de dos métodos, el primero es convertirla en una ecuación lineal, sustituyendo con la igualdad.

El segundo método consiste en resolverla sin hacerla lineal, sustituyendo con la igualdad

Para comprobarlo se realiza lo siguiente:

Si se divide la ecuación de Bernoulli entre  se tiene

Al acomodar para hacer más identificables los factores

Si se hace uso del primer método descrito, , se tiene, por ende

Si se despeja

Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli que se divide entre

Así, se tiene la ecuación de primer orden que se mencionó en un inicio y que se obtendría al aplicar la sustitución del primer método.

Para facilitarte entender de qué te servirá identificar las ecuaciones con esta forma, suponiendo que has modelado un sistema de energías renovables que pretendes controlas o del cual deseas predecir un estado futuro respecto a ciertos factores representado por las variables  y .

El modelo que representa de mejor forma el fenómeno que observaste, se supondría que es el siguiente, mostrando la ecuación que describe la relación de la variación de  con respecto a :

Lo primero que se hace es acomodar la ecuación para tener una con la forma de Bernoulli, obteniendo así:

O lo que es lo mismo

Al escribirla de esta manera, se puede observar que  y

Siguiendo los pasos indicados para hacerla lineal, se divide la ecuación entre , lo que resulta en

Simplificando un poco

Haciendo una conversión de , se tiene por ende que

O lo que es lo mismo

De tal forma que si despeja

Al sustituir, la ecuación queda de la siguiente manera:

Multiplicando por -2 ambos lados para dejar la ecuación en una forma más fácil de leer

Para obtener la solución, se acomodan los elementos

Se integran de ambos lados

Para después sustituir de nuevo  por , de los que se obtiene una solución

Ecuación de Lagrange  

La ecuación de Lagrange puede encontrarse con las siguientes representaciones:

O más comúnmente

Para resolverla se hace

Por tanto,

Al derivar de ambos lados se tiene una ecuación lineal respecto a la variable independiente.

Al sustituir y acomodar la ecuación

Está ya es una ecuación lineal que se puede resolver integrando.

Si se deseara despejar ,

Ecuaciones de Clairaut

Las ecuaciones de Clairaut tienen la siguiente representación:

Tal que  es una función que puede diferenciarse de forma continua.

Se puede observar que es muy similar a la ecuación de Lagrange, pero con . Está ecuación resulta de interés debido a que su solución es una familia de rectas y su envolvente, la cual es una solución singular.

La familia de rectas que aparecen como su solución general puede representarse por

Y la singular por

Las ecuaciones con está forma reciben su nombre debido a que el matemático Alexis Claude Clairaut, de origen francés, las tuvo como objeto de estudio en 1734.

Una forma de resolverla consiste en hacer lo mismo que en la ecuación estudiada anteriormente.

Se tiene con la sustitución la siguiente ecuación:

Al derivar de los dos lados de la ecuación

O lo que es lo mismo

Factorizando

Del cambio de variable  se obtiene que , al hacer la sustitución

De ahí se pueden deducir dos cosas: para que la ecuación sea verdadera,

     o    

Si  entonces esto significa que  es una constante  (la derivada de una constante es igual a cero

Después de hacer la sustitución de  por  en la ecuación en donde por primera vez se presenta el cambio de variable

Queda

Que es la solución general comentada en un inicio.

Suponiendo el otro caso, en donde , entonces

Tras sustituir, al igual que en el primer caso, en la ecuación donde por primera vez se presentó el cambio de variable

Queda

Donde está es la solución singular de la que se habló en un inicio, si se considera a  como .

Método de series de Taylor y método de Picard

El método de series de Taylor puede ser utilizado para la resolución de las ecuaciones diferenciales. De acuerdo con Nagle, Saff y Snider, el polinomio de Taylor puede definirse para un n-ésimo grado en  de la siguiente manera:

Para problemas de valor inicial, en donde  con  se deben establecer los valores para Ø’ en , esto es , etc.

Utilizando como base la condición inicial, se tiene que .

Como se definió que , se puede calcular el valor de

Para calcular  se deriva la ecuación anterior respecto de , lo que da

Y como previamente se había determinado que

Después de hacer la sustitución se tiene

Con el método de Picard para el problema de valor inicial, al igual que con el método de las series de Taylor, se supone que hay una  con .

Al integrar los dos lados de la ecuación respecto a , para  a

Al sustituir  por

Y al despejar

Al utilizar  como variable de integración en lugar de  se puede sustituir a  por  como límite de integración superior

Con la ecuación anterior, pueden generarse aproximaciones sucesivas para solucionar el problema de valor inicial

Si  es la aproximación de una solución para la ecuación del valor inicial, la siguiente aproximación sería haciendo

Siguiendo la lógica anterior, se puede hace uso de  para calcular , y está para .

Si se continua el cálculo de aproximaciones basado en la inmediata anterior, se puede observar que existe una relación como la que sigue para calcular la aproximación

1. 2. 5. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden en un sistema de energías renovables.

Las ecuaciones diferenciales, tienen aplicación en las energías renovables al modelar fenómenos de una forma matemática.

En las energías, para el desarrollo, análisis, operación y control de sistemas que hagan unos de estas, encuentran un vasto campo de aplicación, ya que están presentes en la termodinámica, mecánica, electricidad, química, biología y finanzas, por mencionar tan solo algunos de los campos en donde podrán expresarse modelos de utilidad y resolverlos