El
álgebra lineal tiene una gran cantidad de aplicaciones en muchos campos del
conocimiento humano, tanto en ciencias sociales como en ingenierías y en las
llamadas ciencias exactas. El objetivo del siguiente tema es, justamente,
mostrar esa utilidad del álgebra lineal.
Esto
se logrará a través del desarrollo de algunos ejemplos de aplicaciones de
matrices y de determinantes. Recuerda que uno de los pilares de las matrices son
los vectores. A su vez las matrices dan pie al estudio de los determinantes. De
esta manera, a través de los ejemplos que aquí se estudian, podrás ver también
como se interactúan y se complementan todos los temas que viste en esta
asignatura.
3.1 Aplicación de
matrices.
A
continuación, se presentan algunas aplicaciones de matrices.
Ejemplos: gráficos de
computador.
El
diseño asistido por computador (CAD) le ahorra a la Ford Motor Company millones
de dólares cada año. Adoptados por primera vez por Ford a principios de 1970,
CAD y CAM (fabricación asistida por computador) han revolucionado la industria
automovilística. Hoy día, los gráficos por computador constituyen el corazón y
el álgebra lineal el alma del diseño moderno de automóviles.
Muchos
meses antes de que se construya un nuevo modelo de automóvil, los ingenieros
diseñan y construyen un automóvil matemático: un modelo de alambre que existe
solamente en la memoria de un computador y en las terminales de exhibición de
gráficos. Este modelo matemático organiza e influye en cada paso del diseño y
fabricación del automóvil.
Trabajando
en más de 2600 estaciones de trabajo para gráficos, los ingenieros de Ford
perfeccionan el diseño original, esculpen las líneas fluidas de la carrocería,
ponen a prueba la capacidad de las láminas de metal para soportar las
deformidades y los dobleces necesarios para producir la carrocería, ajustan la
colocación de los asientos interiores, planean y disponen las partes mecánicas,
y producen los planos de ingeniería para los miles de componentes que los
proveedores fabricaran. Los ingenieros inclusive hacen pruebas de carretera para
la suspensión del carro matemático, colocan el automóvil en un túnel de viento
matemático y ¡hacen repetidas pruebas de colisión del auto en el
computador!
El
modelo de alambre del automóvil se almacena en muchas matrices de datos para
cada componente principal. Cada columna de una matriz enumera las coordenadas de
un punto sobre la superficie del componente. Las demás columnas describen cuales
puntos se deben conectar con curvas; un escáner tridimensional genera los puntos
de datos originales pasando sensores por un modelo de arcilla de tamaño natural
del automóvil. Las piezas individuales del interior también se almacenan como
matrices de datos. Los componentes más pequeños se trazan con software de
gráficos por computador en la pantalla y las piezas mayores se forman
ensamblando matemáticamente los componentes más pequeños.
Posteriormente,
los programas matemáticos generan más puntos, curvas y datos de color para interpretar y dibujar la superficie
exterior del automóvil, haciendo que este se vea tan real en la pantalla que
parezca un automóvil de verdad en la sala de exhibición de un distribuidor. Los
clientes potenciales opinan mientras el automóvil gira en el “piso de la sala de
exhibición”. Si a los clientes no les gusta, el diseño puede cambiarse antes
de que se construya el coche real.
Ya
sea que trabajen en el diseño general de la carrocería o modifiquen un
componente pequeño, los ingenieros llevan a cabo varias operaciones básicas
sobre imágenes gráficas, como cambiar la orientación o la escala de una figura,
hacer un acercamiento de alguna región pequeña o cambiar entre vistas
bidimensional y tridimensional. El álgebra lineal es en verdad el “alma” del
software de gráficos porque todas las manipulaciones de imágenes en la pantalla
se logran mediante técnicas de álgebra lineal.
|
1 Modelo de alambre de un
auto
|
2 Carro en un túnel de viento
matemático. |
Se
ha visto que los determinantes están estrechamente ligados con las matrices. Por
ello, casi cualquier problema que pueda ser resuelto mediante matrices podrá ser
resuelto mediante determinantes.
Ahora
se resolverá un ejercicio.
Ejercicio: fertilizantes
básicos.
Un
grupo de ingenieros de varias áreas está analizando cinco compuestos que forman
tres tipos de fertilizantes básicos I, II y III. Las cantidades se miden en
gramos. Pueden obtenerse fertilizantes especiales resolviendo combinaciones de
los tres tipos básicos. Es decir, los fertilizantes especiales pertenecen al
espacio generado por los tres vectores que representan los fertilizantes
básicos. El objetivo del estudio es crear nuevos fertilizantes que dañen menos
el ambiente y el suelo.
Las
cantidades de cada compuesto que forman cada uno de los fertilizantes básicos
están dado en gramos y se expresan por la siguiente matriz.
Los
ingenieros desean obtener un fertilizante con las siguientes
cantidades:
2,200
gramos del compuesto A; 1,900 del compuesto B; 1950 del compuesto C;2550 del
compuesto D y 1400 del compuesto E.
Si
esto es posible, ¿Qué cantidad de cada fertilizante básico se necesitaría para
formar el fertilizante especial?
Se
llamará X1, X2 y X3 a las cantidades que se
utilizaran de los fertilizantes básicos I, II y III,
respectivamente.
Se
construye el sistema de ecuaciones a partir de los datos dados y de lo que se
desea obtener:
Se
utilizarán X1, X2 y X3 gramos de los
fertilizantes básicos I, II y III respectivamente, por compuesto A, B, C, D y E,
para obtener las cantidades deseadas de cada uno en la
mezcla:
Se
obtiene la matriz ampliada asociada al sistema:
La
matriz no es una matriz cuadrada, ya que está asociada a un sistema de cinco
ecuaciones con tres incógnitas. Vean que sucede al aplicar el método de
Gauss.
Se
realizan operaciones sobre la matriz:
Por
lo tanto, según el método de Gauss, x3 es siempre igual a 50, de
donde se deduce que el sistema si tienen solución y esta es única. Si los
valores asociados a x3 hubieran resultado diferentes para las filas
3, 4 y 5, el sistema no tendría solución.
Estos
valores cumplen el sistema formado por las tres primeras ecuaciones. Ahora bien,
si fuera posible realizar el fertilizante con las cantidades deseadas de los
compuestos, se requiere que estas soluciones satisfagan también las dos
ecuaciones restantes.
Por
lo tanto, es posible realizar el fertilizante con una mezcla de las cantidades
deseadas de cada compuesto, a partir de los fertilizantes básicos. Para ello se
deben utilizar: 30 gramos del fertilizante I, 20 gramos del fertilizante II y 50
gramos del fertilizante III.
3.2 Aplicación de
sistemas de ecuaciones.
A
continuación, se presentan algunas aplicaciones de
determinantes.
Ejemplo: modelos lineales en economía e
ingeniería.
Era
el final del verano de 1949. El profesor de Harvard, Wassily Leontief, estaba
introduciendo cuidadosamente la última de sus tarjetas perforadas en el
computador Mark II de la universidad. Las tarjetas contenían información sobre
la economía de Estados Unidos y representaban un total de más de 250,000 piezas
de información producidas por la Agencia de Estadísticas del Trabajo de E.U.A.
tras dos años de intensa labor. Leontief había dividido la economía
estadounidense en 500 “sectores”, tales como la industria del carbón, la
industria automovilística, comunicaciones y así
sucesivamente.
Para
cada sector, había elaborado una ecuación lineal que describía como este
distribuía sus salidas hacia otros sectores de la economía. Debido a que el Mark
II, uno de dos computadores más grandes de aquella época, no podía manejar los
sistemas resultantes de 500 ecuaciones con 500 incógnitas. Leontief destilo el
problema a un sistema de 42 ecuaciones con 42 incógnitas.
Programar
el computador Mark II para las 42 ecuaciones de Leontief había requerido varios
meses de esfuerzo y él estaba ansioso por ver cuánto le llevaría al computador
resolver el problema. El Mark II zumbo y parpadeo durante 56 horas antes de
producir finalmente una solución.
Leontief,
quien obtuvo el premio Nobel de Economía 1973, abrió la puerta a una nueva era
en modelos matemáticos en economía. Sus esfuerzos en Harvard en 1949 marcaron
uno de los primeros usos significativos de los computadores para analizar lo que
entonces era un modelo matemático a gran escala. Desde ese tiempo, los
investigadores en muchos otros campos han usado computadores para analizar
modelos matemáticos.
Debido
a las cantidades masivas de datos implicados, los modelos generalmente son lineales; esto es, se escriben como sistemas de ecuaciones
lineales.
La
importancia del álgebra lineal para las aplicaciones se elevado en proporción
directa al incremento en la potencia del cómputo. Con cada nueva generación de
hardware y software se dispara una demanda de mayor capacidad. La ciencia de
computo esta así intrincadamente ligada al álgebra lineal, a través del
crecimiento explosivo del procesamiento en paralelo y los cálculos en gran
escala.
Los
científicos e ingenieros trabajan ahora en problemas mucho más complejos que los
que podían imaginarse hace algunas décadas. ¡Hoy, el álgebra lineal tiene más
valor potencial para los estudiantes en muchos campos científicos y de negocios
que cualquier otra materia de matemáticas de licenciatura!
· Prospección
petrolera. Cuando un barco busca depósitos petrolíferos mar adentro, sus
computadores resuelven miles de sistemas de ecuaciones lineales independientes
diariamente. Los datos sísmicos para
las ecuaciones se obtienen de ondas de choque bajo el agua producidas por medio
de explosiones con cañones de aire. Las ondas rebotan en rocas bajo la
superficie y se miden con geófonos sujetos a cables de una milla de largo tras
del barco.
· Programación lineal. Hoy en día muchas
decisiones gerenciales importantes se toman con base en modelos de programación
lineal que utilizan cientos de variables. La industria de aviación, por ejemplo,
usa programas lineales que organizan las tripulaciones para los vuelos,
registran la ubicación del aparato organizan las tripulaciones para los vuelos,
registran la ubicación del aparato aéreo o planean diversos programas de
servicios de apoyo tales como el mantenimiento y las operaciones de
terminal.
· Redes
eléctricas. los ingenieros utilizan un software de simulación para diseñar
circuitos eléctricos y microchips que incluyen millones de transistores. El
software depende de técnicas de álgebra lineal y de sistemas de ecuaciones
lineales.
Los
sistemas de ecuaciones lineales están el corazón del álgebra
lineal.
Ahora
se retoma el problema de fertilizantes
básicos de la sección anterior, para resolverlo por el método de
determinantes.
Se
había construido el siguiente sistema de ecuaciones:
La
matriz asociada al sistema está dada por:
Vean
que esta matriz no es cuadrada, ya que surge de un sistema de cinco ecuaciones
con tres incógnitas.
Como
solo pueden sacarse determinantes de matrices cuadradas, entonces se debe hacer
cuadrada la matriz asociada. Para ello, se trabajará entonces solo con tres
incógnitas y tres ecuaciones, es decir, se eliminarán las dos últimas filas del
sistema para obtener la matriz:
Ahora
sí, se puede obtener el determinante de dicha matriz:
Este
es el determinante del sistema formado por las tres primeras
ecuaciones:
Entonces:
Obsérvese
que se sacó el determinante a partir de la segunda fila, ya que el cero
simplifica las operaciones.
Ahora
se sacan los determinantes asociados a las variables. Recuérdese que las
entradas asociadas a cada variable son sustituidas por las entradas de las
constantes:
Asociados
a x1, x2 y x3
respectivamente.
Así,
se sacan los valores de x1, x2 y x3 a partir de
las correspondientes divisiones:
Los
resultados, efectivamente, son los valores de x1, x2 y
x3 que se obtuvieron a partir del método de Gauss. Ahora bien, si no
se supieran los valores de x1, x2 y x3,
entonces se tendrían que aplicar los valores obtenidos a las ecuaciones que no
intervinieron en los determinantes, para comprobar que efectivamente esas
soluciones satisfacen las dos ecuaciones restantes.
